Debo hallar la solución de optimización utilizando los métodos de lagrange
debo maximizar f(x,y)= e^xy sujeto a g(x,y)=x^2+y^2=8
Mi vector gradiente de f es (ye^xy, xe^xy) y el vector gradiente a g me queda igual a (2x, 2y)
De esto obtuve dos ecuaciones utilizando lagrange donde p=landa (ya que no se como poner ese símbolo)
1) ye^xy= 2x p
2) xe^xy= 2y p
De (1) despeje y, luego reemplace ese valor en 2 quedando que x=o o p^2= e^xy/4y , luego no se que más ´podría hacer ya que me doy vueltas en el mismo lugar.
1 respuesta
;)
Hola Anyara!
Primero construimos la función de Lagrange
L(x,y)=e^(xy)+p(x^2+y^2-8)
Los óptimos se encuentran en los puntos críticos del lagrangiano:
L_x=0
L_y=0
L_p=0
ye^(xy)+2px=0
xe^(xy)+2py=0
x^2+y^2-8=0
===>
p=-ye^(xy)/(2x)
p=-xe^(xy)/(2y)
Igualando las : =>
-ye^(xy)/(2x)=-xe^(xy)/(2y). ===>
y/x. =x/y ===>
y^2=x^2
Sustituyendo en la tercera
x^2+x^2-8=0
x^2=4
x=2 ==> y^2=4 ==> (2,2) ;. (2,-2)
x=-2 ==> y^2=4 ==> (-2,2) ; (-2,-2)
Faltaría comprobar con el hessiano la naturaleza de esos puntos críticos.
Saludos
;)
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