Me explican los pasos de inducción completa matemática

Estos ejercicios son muy largos y además que son demasiados para una sola pregunta. Te dejo el primero para que lo uses de guía, los que no te salgan espera que te ayude otro experto o hazlos en nuevas preguntas (por separado)

$$\begin{align}&\text{Para la inducción, lo primero que hay que hacer es plantear el caso base y verificar que cumple}\\&\text{la condición, una vez hecho esto se plantea el 'paso inductivo' que consiste en plantear P(n+1) y}\\&\text{asumiendo que se cumple la condición para P(n), probar que vale P(n+1)}\\&\text{Acá vamos con el primero:}\\&1) \sum_{i=1}^{n}(3i+5) = \frac{n(3n+13)}{2}\\&\text{Caso base (n=1)}\\&\sum_{i=1}^{1}(3i+5) = 3\cdot 1 + 5 = 8\\&\text{Del lado derecho...}\\&\frac{1 \cdot (3\cdot 1+13)}{2}= \frac{16}{2}=8 \text{ Se cumple el caso base, así que planteamos el caso inductivo}\\&P(n) \to^? P(n+1)\\&O sea...\\&\bigg(\sum_{i=1}^{n}(3i+5) = \frac{n(3n+13)}{2}\bigg) \to^? \bigg(\sum_{i=1}^{n+1}(3i+5) = \frac{(n+1)(3((n+1)+13)}{2} \bigg)\\&\text{Antes de plantear la inducción, voy a acomodar la expresión de la derecha de P(n+1)}\\&\frac{(n+1)(3((n+1)+13)}{2}=\frac{(n+1)(3n+16)}{2}\\&\text{Ahora si, volvamos a la inducción, para eso voy a partir del lado izquierdo de P(n+1) y tratar de verificar }\\&\text{la igualdad (usando por supuesto la Hip. Inductiva en el medio)}\\&\sum_{i=1}^{n+1}(3i+5) = \bigg(\sum_{i=1}^{n}(3i+5)\bigg) + 3(n+1) + 5\\&\text{Fijate que la sumatoria es la parte izquierda de P(n), por lo tanto puedo usar la H.I. quedando:}\\&=\frac{n(3n+13)}{2} + 3(n+1) + 5\\&\text{Ahora solo queda hacer cuentas y si todo está bien, deberíamos llegar a la expresión del lado derecho de P(n+1)}\\&=\frac{n(3n+13) + 2(3(n+1) + 5)}{2}=\frac{3n^2+13n + 6n+16}{2}=\frac{3n^2+19n + 16}{2}=\\&\text{Como ya sabemos a lo que queremos llegar, podés usar Rufiini (división sintética) para dividir }\\&\text{por (n+1) y obtener}\\&=\frac{(n+1)(3n+ 16)}{2} \\&\text{Que es a lo que queríamos llegar, y por lo tanto quedó demostrado!}\end{align}$$

Salu2

Ariel Oddone!

Te hago el segundo, y espero que cambies la valoración a Excelente para los dos expertos.

Si votas Excelente, continuaremos resolviendo tus problemas:

$$\begin{align}&\sum_{i=1}^n 3^n=\frac{3^{n+1}-3}{2}\\&\\&Para\ n=1\\&\\&\sum_{i=1}^1 3^1=3\\&\\&\frac{3^{1+1}-3}{2}=\frac{9-3}2=3\\&\\&La \ cumple\\& Hipotésis: \sum_{i=1}^n 3^n=\frac{3^{n+1}-3}{2} ==>? \ Tesis:\\&\\&\sum_{i=1}^{n+1} 3^{n}=\frac{3^{n+2}-3}{2}\\&\\&demostración\\&\\&\sum_{i=1}^{n +1}3^{n}=\Bigg(\sum_{i=1}^n 3^{n}\Bigg)+3^{n+1}=\frac{3^{n+1}-3}{2}+3^{n+1}=\\&\\&\frac{3^{n+1}-3+2·3^{n+1}}{2}=\frac{3·3^{n+1}-3}2=\frac{3^{n+2}-3}{2} \\&c.q.d.\end{align}$$

c.q.d. (como queríamos demostrar)

Saludos

||*||

;)