Demostrar a partir de la definición de continuidad, que la función cos (x) es continua en R.
Les agradecería que me ayuden con este problema y me explicaran como puedo aplicar la definición de continuidad para demostrarlo.
2 Respuestas
Vamos a tomar dos puntos x e y tales que |x - y| < δ, con δ > 0.Luego veremos cómo se comporta
$$\begin{align}&|\cos x-\cos y|\end{align}$$(1) Por identidades trigonométricas se conoce
$$\begin{align}&|\cos x-\cos y|=2\left|\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\sin\left(\frac{x-y}{2}\right)\right|\\&\end{align}$$(2) Por otra parte sabemos que
$$\begin{align}&|\sin \omega|\leq 1\,\,\,\, , \,\,\,\forall\omega \in \mathbb{R}\end{align}$$(3) entonces podemos utilizar (2) de forma conveniente en (1) y tener
|cos x - cos y| ≤ 2| sen [(x - y)/2] |
(4) Tenemos otra identidad: | sin z | ≤ |z| para cualquier z real
(5) entonces utilizamos (4) en (3)
|cos x - cos y| ≤ 2| (x - y)/2 |
|cos x - cos y| ≤ | x - y |
Por hipótesis
|cos x - cos y| < δ
Entonces a δ podemos ponerle un número ε > 0 lo más pequeño posible (δ = ε) lo que significa la continuidad de la función coseno.
Es más, con esto hemos demostrado que la función coseno es uniformemente continua (Continuidad de Cauchy).
Para que una función sea continua en un punto debe tener tres condiciones:
1) Estar definida en el punto;
2) Tener límite en el punto;
3) El límite y el valor de la función en ese punto deben ser iguales.
La función Coseno está definida para cualquier real, tiene límite en todos los reales y el límite y el valor en cualquier R coinciden.