Determina si la proposición dada es verdadera o falsa, justifica tu respuesta:
a. Si y=f(x)=a^x es siempre una función positiva y no corta al eje x
b. Ln(sec θ) =-ln(cosθ)
c. Log(x+y)=log(xy)
d. Cos(pi/5)=sin (54°)
e. Si f^-1(-6)=2 entonces f(2)=-6
$$\begin{align}&.\end{align}$$
a) Verdadero. No caben dudas para x positiva; si x=0: y=1 (cualquier número elevado a la 0 es 1); si x es negativa, equivale a hacer (1/a)^|x| que será siempre positivo. Otra manera de explicarlo: si x tiende a (-∞), y tiende a 0 por el lado positivo. Queda también demostrado que f(x) nunca cortará al eje x.
b. Ln(sec θ) =-ln(cosθ); Verdadero. P
uede expresarse como: Ln(1/cos θ) =-ln(cosθ); o: ln 1 - ln(cosθ) = -ln(cosθ);
pero como ln 1 =0; queda la igualdad: - ln(cosθ) = -ln(cosθ);
c. Log(x+y)=log(xy). Falso:
log x + log y = log(xy).
d. Cos(pi/5)=sin (54°); Verdadero.
Cos (180°/5) = sin 54°; Cos 36°= sin 54°;
Cos (90 - 54)° = sin 54°; que es una igualdad conocida: Cos (90°-a) = Sin a.
e. Si f^-1(-6)=2 entonces f(2)=-6 Verdadero, pero tengamos en cuenta que esto debe ocurrir en un intervalo donde tanto y=f(x) como x=f(y) se encuentren definidas y tengan una relación punto a punto.
