Tengo un problema de ecuaciones diferenciales que no puedo resolver. Trata del teorema de existencia y unicidad.
Tengo una ecuación que dice dv/dt+mg=kv^2 y tengo que encontrar la solución. Pero estoy atorada después de la integral, ya no se que más hacer, de ante mano agradezco su tiempo. Me sería de gran ayuda.
Respuesta de Karl Mat
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Asumiré que la masa y la gravedad no dependen del tiempo ni la velocidad
$$\begin{align}&\frac{dv}{dt}=kv^2-mg\\&\\&\frac{dv}{kv^2-mg}=dt\\&\\&\int_{v_0}^{V}\frac{dv}{kv^2-mg}=\int_{t_0}^{T} dt\\&\\&\frac{1}{2k}\int_{v_0}^{V}\frac{2dv}{v^2-\frac{mg}{k}}=T-t_0\\&\\&\left.\left(\frac{1}{2k}\ln\left|v^2-\frac{mg}{k}\right|\right)\right|_{v_0}^{V}=T-t_0\\&\\&\frac{1}{2k}\left(\ln\left|V^2-\frac{mg}{k}\right|-\ln\left|v_0^2-\frac{mg}{k}\right|\right)=T-t_0\\&\\&\frac{1}{2k}\ln\left|\frac{kV^2-mg}{kv^2_0-mg}\right|=T-t_0\\&\\&\ln\left|\frac{kV^2-mg}{kv^2_0-mg}\right|=2k(T-t_0)\\&\\&\frac{kV^2-mg}{kv^2_0-mg}=e^{2k(T-t_0)}\\&\\&kV^2-mg=e^{2k(T-t_0)}(kv^2_0-mg)\\&\\&V^2=\frac{e^{2k(T-t_0)}kv^2_0+mg\left[1-e^{2k(T-t_0)}\right]}{k}\\&\\&\\&V=\sqrt{e^{2k(T-t_0)}v^2_0+\frac{mg}{k}\left[1-e^{2k(T-t_0)}\right]}\\&\\&\end{align}$$
Me equivoqué en la integral
$$\begin{align}&\int_{v_0}^{V}\frac{dv}{kv^2-mg}=\int_{t_0}^{T} dt\\&\\&\frac{1}{k}\int_{v_0}^{V}\frac{dv}{v^2-\sqrt\frac{mg}{k}^2}=T-t_0\\&\\&\frac{1}{k}\cdot \frac{1}{2\sqrt\frac{mg}{k}}\left.\ln\left|\frac{v-\sqrt\frac{mg}{k}}{v+\sqrt\frac{mg}{k}}\right|\right|_{v=v_0}^{v=V}=T-t_0\\&\\&\\&\frac{1}{2}\sqrt\frac{1}{kmg}\left(\ln\left|\frac{V-\sqrt\frac{mg}{k}}{V+\sqrt\frac{mg}{k}}\right|-\ln\left|\frac{v_0-\sqrt\frac{mg}{k}}{v_0+\sqrt\frac{mg}{k}}\right|\right)=T-t_0\end{align}$$
¡Gracias!
Muchísimas gracias, me fue de gran ayuda, espero seguir contando con su apoyo, si puedo hacer algo, hágamelo saber, de nuevo ¡Muchas gracias!.
