Demuestra qué propiedades de espacio vectorial se cumplen, y cuáles no

Supongo que hay un error en la definición de S y se trata de:

Sea S={(a1 ,a2 ) ; (b1 ,b2) }. Para (a1 ,a2), (b1 ,b2) ∈ S, y c ∈ R , se definen:

(a1 ,a2)+( b1 ,b2) = (a1+ b2, a2 + b1) y c(a1 ,a2)=( a1 ,a2).

Están los cuatro elementos que componen un Espacio Vectorial:

1) Un conjunto no vacío de elementos matemáticos (en este caso: S, con dos matrices 2x1);

2) Un conjunto de escalares (R);

Y dos operaciones:

3) Suma o composición interna;

4) Composición externa o producto por un escalar.

ATENCIÓN EN EL PUNTO 3), porque en este caso no es la suma corriente sino la suma especial definida como suma con la transpuesta (el signo + dentro de un cuadrado).

En 4, pasa algo parecido: si bien c ∈ R, cuando se dice: "c(a1, a2) = (a1, a2)," nos da la idea de ser una multiplicación especial (no el signo con un punto sino con un pequeño círculo), dado que c sólo puede tomar el valor c=1.

Analicemos ahora los diez axiomas:

• Ley de composición interna: La suma de dos vectores de V pertenece a V.   Se da porque la suma de ambas matrices es otra matriz de iguales características.
• Ley de composición externa: v*k = vk perteneciente a V.  También se da porque se genera otra matriz similar. 
• Asociatividad  de matrices: (u+v)+w = u+(v+w);  debemos generar una tercera matriz y comprobarlo:  u=(a1,a2); v=(b1,b2); w=(c1,c2)                 u+v=(a1+b2), (a2,b1); + w=(a1,b2,c2), (a2,b1,c1);
• (v+w) = (b1+c2), (b2+c1); u+(v+w) = (a1+b2+c1), (a2+b1+c2);  como vemos no son iguales:  no cumple con la asociatividad de matrices.
• Asociatividad escalar: (k*l)*v = k*(l*v);  Si bien define a los escalares como R (Reales, como es lo más habitual), en el producto especial define a R como si sólo pudiera valer R=1, con lo que no habría otro escalar, y quedaría: (1*1)*v = 1*(1*v);  lo cual haría cumplir este axioma.
• Conmutatividad: u+v = v+u;  (a1+b2),(a2+b1) = (b1+a2),(b2+a1);  no cumple.
• Distributiva de matrices: k(u+v) = ku + kv;  cumple.
• Distributiva de escañares: v(k+l) = vk + vl;  cumple.
• Elemento neutro perteneciente al conjunto matricial: N+v=v; sí, porque N (matriz)=  (0,0)
• Elemento neutro perteneciente a los escalares: N*v=v; si porque N escalar=1
• Simétrico, opuesto o inverso: u + u’ = 0. Cumple porque (a1,a2) + (-a1,-a2) = 0;  donde u'=(-a1,-a2); y así también para v+v'=0.