Escribir en forma de ecuación diferencial

Me pueden ayudar por favor con esto:

¿Qué función del cálculo conoce, cuya primera derivada es la función misma? ¿Cuya primera derivada sea un múltiplo constante que de la función misma? Escriba la respuesta en forma de una ecuación diferencial de primer orden con una solución.

Respuesta
$$\begin{align}&f(x)=e^{k\cdot x}\end{align}$$

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Respuesta
  • ¿Qué función del cálculo conoce, cuya primera derivada es la función misma?

Sea y = f(x) tal función, entonces la pregunta se modela así:

$$\begin{align}&y=y'\end{align}$$

o

$$\begin{align}&y = \frac{dy}{dx}\end{align}$$

Encontrémosla

  • $$\begin{align}&dx =\frac{dy}{y}\\&\\&\text{integrando ambos miembros}\\&\\&\int dx=\int \frac{dy}{y}\\&\\&x=\ln |y|+C_1\\&\\&y=e^{x-C_!}\\&\\&y=e^x\cdot e^{-C_1}\\&\\&\boxed{y=C_2 \cdot e^x}\end{align}$$
    ¿Cuya primera derivada sea un múltiplo constante que de la función misma? 
$$\begin{align}&y=k y'\\&\\&dx = k \frac{dy}{y}\\&\\&x = k \ln |y| +C_1\\&\\&x-C_1=\ln|y^k|\\&\\&y^k = C_2 ~e^{x}\\&\\&\boxed{y= C_3 ~e^{x/k}} ; ~~C_i , k\in \mathbb{R}\end{align}$$

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