Quiero saber si está bien la fórmula recursiva

Primero veamos los exponentes de la base 2

$$\begin{align}&\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{7}{8},\frac{15}{16}\end{align}$$

es obvio que su fórmula de recurrencia es:

$$\begin{align}&\frac{2^n-1}{2^n}=1-\frac{1}{2^n},\forall n\in \mathbb{N}\end{align}$$

Entonces la fórmula de recurrencia de la sucesión original es

$$\begin{align}&a_n=2^{1-\frac{1}{2^n}}=2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2^n}}\\&\\&\text{Luego... }\lim\limits_{n\to+\infty}a_n=2\end{align}$$

Ahora veamos si la sucesión es monótona. Sea m < n (m y n son números naturales)

$$\begin{align}&-n<-m\\&\\&2^{-n}<2^{-m}\\&\\&\frac{1}{2^n}<\frac{1}{2^m}\\&\\&-\frac{1}{2^m}<-\frac{1}{2^n}\\&\\&1-\frac{1}{2^m}<1-\frac{1}{2^n}\\&\\&2^{1-\frac{1}{2^m}}<2^{1-\frac{1}{2^n}}\\&\\&a_m < a_n\end{align}$$

Por ende la sucesión es creciente. Como vimos esta sucesión tiende a 2 y como es una sucesión monótona entonces tal sucesión es acotada.

$$\begin{align}&\sqrt{2}\leq a_n<2~~,~~\forall n\in\mathbb{N}\end{align}$$

P.D. Tu fórmula de recursiva es correcta.

Disculpa entonces que pedía la consigna que demuestre que está acotada por 3 esta mal?