Como se si una serie es convergente?

Esto se puede hacer por simple inspección ya que el factor (4 - n) para n = 4 se anula, veamos

$$\begin{align}&a_1=1\\&a_2=3\times 1=3\\&a_3=2\times 3=6\\&a_4=1\times 6 = 6\\&a_5=0\times 6 =0\\&a_6=-1\times 0 =0\\&\vdots\\&a_j=0 ~,~\forall j\geq 5\\&\\&\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n=1+3+6+6+0+\cdots +0 +\cdots = 16\end{align}$$

por ende la serie converge