Anónimo
Esta bien que me halla dado así la fracción de este numero periodo ?
0,12499999999... Es el numero periódico
Usando serie geométrica para hallar la fracción me ha dado
34691/277750
Quiero saber si esta bien debido a que al dividir me da 0.12490009
Este ejercicio tiene una "trampa?", que evaluaremos en la segunda parte de la respuesta.
Inicialmente, algo ha fallado, porque al hacer la división de la fracción no da el mismo número del que has partido. Analicemos descomponiendo:
0,12499999999...
0 enteros + 124/1000 + 9/(9*1000); esto último porque el 9 periódico está en el lugar de los diezmilésimos: Simplifico y sumo:
0 + (124/1000) + (1/1000); = 125/1000; o: 0.125; o: 1/8.
Sorprendentemente este resultado: ¡Es correcto!
Analicemos ahora la supuesta "trampa". El aparente problema se da con el 9 periódico. Y la pregunta a responder es: ¿Es lo mismo 0.9... que 1?
Y la respuesta es: SÍ, 0.9...=1. (Atención: con el 9 PERIÓDICO).
Demostraciones:
a) Por teoría de números:
Si a>b ∃ h / b+h=a; con h>0;
Traducido: Si a es mayor que b, existe al menos un h tal que b+h=a, con h mayor que 0.
Supongamos 1 > 0.9... ; entonces: 0.9....+h=1; ¿Cuál sería el valor de h, que fuera mayor de 0? Simplemente, no existe, porque cualquier valor de h superior a 0, da un resultado mayor que 1 (pero nunca igual a 1).
b) Por teoría de números, también:
Si a =/= b ; y a < b; ∃ k / a < k < b; (en la práctica, existen infinitos k entre a y b).
Si hacemos 0.9...< k < 1; no existe ningún k que cumpla con esta condición; es decir, no hay número alguno entre 0.9... y 1.
c) Finalmente, también podemos demostrar que si x= 0.9...:
10x = 9.9.....
x = 0.9....; resto miembro a miembro:
10x - x = 9.9..... - 0.9.....;
9x = 9; despejo x:
x = 9 / 9; x=1.
Un pequeño agregado: no es "... me halla dado...", sino: "... me haya dado..."
Porque "halla" es de verbo hallar; "haya" de verbo haber y "haya dado" es el pretérito perfecto del modo subjuntivo del verbo dar.