Como analizó los límites laterales y veo si una función tiene discontinuidad evitable

Cuando x tiende a 0 por izquierda (para los negativos) tanto la tan, como 'x' son negativos, por lo que el resultado es positivo, cuando x tiende a 0 por derecha (positivos), es todo positivo, ahora queda ver cuanto es el límite.

Acá tenés varias formas

$$\begin{align}&1) \ Usando \ L'Hopital\\&2)\text{ Usando lo que sabemos del límite del seno y es que } \lim_{x \to 0}\frac{senx}{x}=1\\&\text{ Te dejo la opción de usar L'H y lo voy a resolver usando el segundo método}\\&\lim_{x \to 0}\frac{tan}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{senx}{x\cdot cosx}=\lim_{x \to 0}\frac{senx}{x}\cdot \frac{1}{cosx}\\&\text{Ambos factores del producto tienden a 1, por lo que el producto también tenderá a 1}\\&\lim_{x \to 0}\frac{senx}{x}\cdot \frac{1}{cosx}=1\end{align}$$

Por lo tanto se puede redefinir la función para salvar la discontinuidad como

$$\begin{cases} 
      1  & \mbox{si } x = 0 \\
      \frac{tanx}{x}  & \mbox{si } x \ne 0 \\ 
   \end{cases}$$

 Salu2