Como pruebo por inducción este problema

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Se hace complicado ayudarte cuando uno ve que no eres de agradecer las previas ayudas recibidas: ¿Por qué no corriges esa mala costumbre?...

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Saludos, Mario (Cacho) Rodríguez

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Muchas Gracias.

Una consulta por el item siguiente que debo hallar el limite de Tn.

esta bien lo que hice?

$$\begin{align}&\sum _{k=0}^{n-1}\left(\:\frac{2}{3}^{\:}\right)^k=\frac{\left(1-\left(\frac{2}{3}\right)^n\right)}{1-\left(\frac{2}{3}\right)}=\frac{\left(1-\left(\frac{2}{3}\right)^n\right)}{\frac{1}{3}}\\&an=\left(\frac{2}{3}\right)^n\left(200\right)+50\left(\frac{\left(1-\left(\frac{2}{3}\right)^n\right)}{\frac{1}{3}}\right)\end{align}$$

$$\begin{align}&lim _{x\to \infty \:}\left(\left(\frac{2}{3}\right)^x\left(200\right)+50\left(\frac{1-\left(\frac{2}{3}^{\:}\right)^x}{\frac{1}{3}}\right)\right)\\&\lim _{x\to \infty \:}\left(e^{x\ln \left(\frac{2}{3}\right)}\cdot \:200+50\cdot \frac{1-e^{x\ln \left(\frac{2}{3}\right)}}{\frac{1}{3}}\right)\\&\lim _{x\to \infty \:}\left(e^{x\ln \left(\frac{2}{3}\right)}\cdot \:200\right)+\lim _{x\to \infty \:}\left(50\cdot \frac{1-e^{x\ln \left(\frac{2}{3}\right)}}{\frac{1}{3}}\right)\\&\\&\\&\\&200\cdot \lim \:_{x\to \infty \:}\left(e^{x\ln \left(\frac{2}{3}\right)}\right)\\&200\cdot \lim \:_{x\to \infty \:}\left(\left(\frac{3}{2}\right)^{-x}\right)\\&200\cdot \lim \:_{x\to \infty \:}\left(e^{-x\ln \left(\frac{3}{2}\right)}\right)=0\\&\\&\\&\\&\lim _{x\to \infty \:}\left(50\cdot \frac{1-e^{x\ln \left(\frac{2}{3}\right)}}{\frac{1}{3}}\right)\\&50\cdot \frac{1}{\frac{1}{3}}\cdot \lim \:_{x\to \infty \:}\left(1-e^{x\ln \left(\frac{2}{3}\right)}\right)\\&50\cdot \frac{1}{\frac{1}{3}}\left(\lim _{x\to \infty \:}\left(1\right)-\lim _{x\to \infty \:}\left(e^{x\ln \left(\frac{2}{3}\right)}\right)\right)\\&50\cdot \frac{1}{\frac{1}{3}}\left(1-0\right)=150\\&\\&\\&\\&\\&\lim _{x\to \infty \:}\left(e^{x\ln \left(\frac{2}{3}\right)}\cdot \:200\right)+\lim _{x\to \infty \:}\left(50\cdot \frac{1-e^{x\ln \left(\frac{2}{3}\right)}}{\frac{1}{3}}\right)=150\end{align}$$