Anónimo
Calcular la integral entre dos gráficos
Hallar la integral de x+y sobre la intersección del círculo de radio 1 centrado en (0,0) y el primer cuadrante del plano x, y.
Como puedo calcular esta integral.
Respuesta de Karl Mat
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No especifica, pero quisiera saber como seria en ambos casos.
Si se puede, Gracias.
Si se refiere al arco de circunferencia unitaria en el primer cuadrante entonces tenemos que calcular la siguiente integral
$$\begin{align}&\int\limits_{\gamma^+}x+y~ds\end{align}$$Que haciendo un cambio de variable adecuado tenemos
$$\begin{align}&x=\cos \tau\\&y=\sin\tau\\&ds =\sqrt{x_\tau^2+y_\tau^2}~d\tau=d\tau\\&\tau\in[0,\pi/2]\\&\\&\int\limits_{\gamma^+}x+y~ds=\int_{0}^{\pi/2}\cos\tau+\sin \tau~d\tau\\&\\&\int\limits_{\gamma^+}x+y~ds=2\end{align}$$Ahora si se refiere a la región encerrada por el susodicho arco, entonces tenemos
$$\begin{align}&\iint\limits_{R}x+y~dxdy\\&\\&R=\left\{(x,y):0\leq x\leq 1~;~0\leq y\leq \sqrt{1-x^2}\right\}\\&\\&\text{Con un cambio de variable tenemos}\\&\\&x=r\cos \theta\\&y=r\sin \theta\\&\\&\text{donde}\\&\\&R'=\{(r,\theta):0\leq r\leq 1~;~ 0\leq \theta \leq \pi/2\}\\&J(r,\theta)=|r| = r\\&\\&\text{Así}\\&\\&\iint\limits_{R}x+y~dxdy=\iint\limits_{R'}r(\cos\theta+\sin \theta)\cdot r~dr~d\theta\\&\\&\iint\limits_{R}x+y~dxdy=\int_{0}^{1}\int_{0}^{\pi/2}r^2(\cos\theta+\sin \theta)dr~d\theta\\&\\&\iint\limits_{R}x+y~dxdy=\int_{0}^{1}r^2~dr\times\int_{0}^{\pi/2}(\cos\theta+\sin \theta)~d\theta\\&\\&\iint\limits_{R}x+y~dxdy=\frac{1}{2}\times 2\\&\\&\huge\boxed{\iint\limits_{R}x+y~dxdy=1}\end{align}$$
Uy me equivoque
$$\begin{align}&\iint\limits_{R}x+y~dx~dy=\frac{2}{3}\end{align}$$