Probar que la doble integral de la función indicada da cero

1) Hagamos el siguiente cambio de variable

$$\begin{align}&x=u+v\\&y=u-v\end{align}$$

Entonces la región es representada por el siguiente cuadrado

$$\begin{align}&R_{u,v}=\left\{(u,v):-\frac{a}{2}\leq u\leq \frac{a}{2}~;~-\frac{a}{2}\leq v\leq \frac{a}{2}\right\}\\&\end{align}$$

2) Hallemos el jacobiano

$$\begin{align}&J(u,v)=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=-2\end{align}$$

3) Calculemos la integral

$$\begin{align}&\iint\limits_{R}(bx+cy)~dx~dy=2\iint\limits_{R_{u,v}}[b(u+v)+c(u-v)]~du~dv\\&\\&\iint\limits_{R}(bx+cy)~dx~dy=2\iint\limits_{R_{u,v}}[u(b+c)+v(b-c)]~du~dv\\&\\&\iint\limits_{R}(bx+cy)~dx~dy=2\iint\limits_{R_{u,v}} u(b+c)~du~dv+2 \iint\limits_{R_{u,v}} v(b-c)~du~dv\\&\\&\iint\limits_{R}(bx+cy)~dx~dy=2(b+c)\iint\limits_{R_{u,v}} u~du~dv+ 2(b-c)\iint\limits_{R_{u,v}} v~du~dv\\&\\&\iint\limits_{R}(bx+cy)~dx~dy=2(b+c)\int\limits_{-a/2}^{a/2}\int\limits_{-a/2}^{a/2}u~du~dv+2(b-c)\int\limits_{-a/2}^{a/2}\int\limits_{-a/2}^{a/2}v~du~dv\\&\\&\iint\limits_{R}(bx+cy)~dx~dy=a(b+c)\int\limits_{-a/2}^{a/2}u~du+a(b-c)\int\limits_{-a/2}^{a/2}v~dv\\&\\&\iint\limits_{R}(bx+cy)~dx~dy=a(b+c)\times 0+a(b-c)\times 0\\&\\&\large\boxed{\displaystyle\iint\limits_{R}(bx+cy)~dx~dy=0}\end{align}$$