Convergencia o Divergencia de la serie
Debo indicar si es convergente o divergente la serie.
Me parece que es divergente pero no se como demostrarlo, debido a que no me sirve ni el criterio de Alembert ni de Cauchy me sirve. Y no se con cual serie compararla.
Lo que me di cuenta es que los valores que toman son 1/2, 1/3, 1/4, 1/5..... Que se parece en algo pero no del todo a la serie armónica.
2 respuestas
Respuesta de Karl Mat
Usemos la demostración de Nicolás Oresme
$$\begin{align}&\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\cdots\\&\\&\text{Agrupémoslo así: }\\&\\&\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\cdots\\&\\&\text{Notemos que...}\\&\\&\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\cdots>\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right)+\cdots\\&\\&\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\cdots>\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots\\&\\&\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\cdots>\infty\\&\\&\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+2}>\infty\\&\\&\end{align}$$L.Q.Q.D.
