¿Cómo se hace esta integral? ∫ √(x²-1)dx/x
Mi profesora la hizo con cambio de variable pero no lo entiendo. Al final el resultado le quedaba así:
(X²-1/2 )+ c
Respuesta de Alejandro Salazar
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Primero que todo ese no es el resultado, fíjate que si derivas obtienes 2x. Puede ser que lo hayas copiado mal. Con el ejercicio:
$$\begin{align}&u=\sqrt{x^2-1} :::(1)\\&x=\sqrt{u^2+1}:::(2)\\&du=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}dx\\&du=\frac{\sqrt{u^2+1}}{u}dx---sustituyendo(1)y(2)\\&dx=\frac{u}{\sqrt{u^2+1}}du\\&\int \frac{u.u}{\sqrt{u^2+1}.\sqrt{u^2+1}}du=\\&\int \frac{u^2}{u^2+1}du=\\&\int \frac{u^2+1-1}{u^2+1}du=\\&\int \frac{u^2+1}{u^2+1}du-\int \frac{1}{u^2+1}du=\\&\int du- \arctan u=\\&u-\arctan u+c=\\&\sqrt{x^2-1}-\arctan \sqrt{x^2-1}+c\\&\end{align}$$
