Hallar el área de la región limitada por la parábola y^2=4x y la recta 4x-3y=4
Hallar el área de la región limitada por la parábola
$$\begin{align}&y^2=4x\end{align}$$y la recta
$$\begin{align}& 4x-3y=4\end{align}$$. Usando rectángulos horizontales, o integrando respecto a y.
Ya hice la gráfica pero no logro sacar los puntos de corte. Por la gráfica, puedo ver que intersecta en (4,4) pero no descrifro el otro punto.
Apreciaría que me ayudaran, es para una tarea.
2 respuestas
Te dejo la imagen de las curvas en cuestión
A partir de ella analiza como te conviene 'partir' la integral para calcular el área. A mí se me ocurre:
Opción 1)
Calculas la integral de la curva azul y = + Raiz(4x) entre 0 y 4, a ese área, le restás 6 (que es lo que suma el área del triángulo que se forma entre el punto B, C y el (4,0)) y a eso te falta sumar la parte que está en el cuadrante negativo de las 'Y' que podrías resolver como
Integral entre 0 y A de la curva azul (pero cambiada de signo, ya que la integral te daría negativo) más 0.375 (que es el área del triángulo formado entre A, C y la coordenada (0.25; 0))
Opción 2)
Integral entre 0 y 0.25 de la curva azul (la cuentas 2 veces ya que está por arriba y por debajo del eje 'X', pero es simétrica respecto al mismo)
Al valor anterior le sumas la integral entre 0.25 y 4 de la función que da la curva azul menos la curva roja
Esta forma parece complicada, pero son puros polinomios así que no deberías tener problemas en calcular estas integrales
Opción ...) Cualquier otra forma que se te ocurra, separando el área en secciones que puedas calcularlas 'a pedazos'
Salu2
Hola,
Gracias por tu respuesta. ¿Podrías darme el procedimiento de la opción 1? ¿Cómo quedaría la integral y luego la resta?
Gracias,
Perdón, pero todo lo que te pasé yo es integrando respecto a 'x', revisando el enunciado veo que te piden integrar respecto a 'y', por lo que la respuesta a lo que te piden es la solución que te planteó Alejandro
Salu2
De la segunda 4x=4+3y, sustituyendo
y^2=4+3y
y^2-3y-4=0
(y-4)(y+1)=0
y=4 , y=-1
Cuando y=-1, x=1/4.
Ahí teniendo los intervalos y sabiendo que el área de la región es la integral de la función que se encuentra arriba en ese intervalo menos la la función que se encuentra de abajo
Buen día Alejandro,
Gracias por tu respuesta. ¿Podrías darme el procedimiento para resolver el área? ¿Cómo quedaría la integral y luego la resta?
Gracias,
Ya te ayudo con eso
¡Gracias!
Ok ya tenemos los valores de intersección en y (arriba los puse). Fíjate que piden integrar con respecto a y así que son esos valores los que necesitamos.(¿Lo de los rectángulos me imagino te refieres a la suma de riemann?, no se pero voy a hacerlo por integrales). Ok como nos piden integrar con respecto a y, las funciones debes estar con respecto a y. Es decir debes despejar x
y=-1 e y=4 son los puntos de intersección
Ahora utilizando la gráfica que nos proporcionó Gustavo vemos que la recta está encima de la parábola con respecto al eje y. Nos quedaría entonces sabiendo que para calcular el área entre dos curvas es la curva superior menos la curva inferior:
$$\begin{align}&\int_{-1}^{4} (\frac{4+3y}{4}-\frac{y^2}{4})dy=\frac{125}{24}\end{align}$$