GRAFICASGraficar las siguientes funciones en GeoGebra calculando rango, dominio, puntos críticos, asíntotas si las tiene.

Bueno te voy a resolver este ejercicio. Con este procedimiento vas a poder hallar el rango del ejercicio que me falta por responder. Si tienes dudas escribe y te respondo sin problema, pero intenta resolverlo

$$\begin{align}&\\&domf:{\rm I\!R}/ {x=\frac{-1}{2}}\\&\\&\end{align}$$

El dominio es todos los reales excepto cuando el denominador es cero

Asíntotas:

Verticales: Hay que evaluar los limites laterales de la función en los puntos en los puntos en x en los que la función no existe

$$\begin{align}&\lim_{x \to -2^-}\frac{5x-3}{2x+4}=\infty\\&\lim_{x \to -2^-}\frac{5x-3}{2x+4}=-\infty\end{align}$$

Recuerda el -2^- se refiere a acercarse al -2 desde la izquierda, piensa en -2.01. Al evaluar el -2.01 te da un valor positivo en la función y en general cualquier valor a la izquierda del -2 hará la función positivo. Con el -2^+, sucede lo contrario. Ya el limite lo hice de una tu compruébalo si quieres.

Horizontal: Hay que ver que si cuando x tiende a infinito, te da un numero. Si es el caso hay una asíntota horizontal en ese numero, si da infinito no hay asíntota

$$\begin{align}&\lim_{x \to \infty}\frac{5x-3}{2x+4}=\frac{5}{2}\end{align}$$

Oblicua: Hay que hallar la pendiente  que se calcula hallando el lim cuando x tiende a infinito de la función entre x, si da cero o infinito no hay asintota oblicua

$$\begin{align}&\lim_{x \to \infty}\frac{\frac{5x-3}{2x+4}}{x}=\frac{5x-3}{2x^2+4x}=0\end{align}$$

Puntos críticos hay que hallar la primera y segunda derivada y ver cuando valen cero. Voy a poner el resultado de las derivadas de una vez porque consume bastante tiempo, tu comprueba si quieres.

$$\begin{align}&f'(x)=\frac{26}{(2x+4)^2}\\&f''(x)=\frac{-104}{(2x+4)^3}\end{align}$$

Ahora hallar cuando esas derivadas valen cero, pues para que valgan cero el numerador deben ser cero, pero el numerador nunca es cero, por lo tanto nunca son cero y no hay puntos críticos ni de inflexión: El rango es entonces todos los reales excepto el valor que nos dio la asintota.

Ahora hay que ver como se comporta la función separándola en intervalos donde hay asíntotas horizontales es decir (-infinito,-2)(-2, infinito) Habría que separarlo también en donde hay puntos críticos pero no hay. Y es usando las derivadas y viendo su signo

En el primer intervalo tomas la primera derivada y eliges un valor cualquiera en ese intervalo y ves su signo. Es positiva, ahora la segunda derivada y tomas el mismo valor (no es necesario, solo que elijas un valor del mismo intervalo) Es positiva, por lo que en ese intervalo es creciente (primera derivada) y cóncava hacia arriba (segunda derivada)

Ahora el segundo intervalo: primera derivada, tomas un valor en ese intervalo, y te da positiva, segunda derivada, tomas el mismo valor u otro en ese intervalo y te da negativo, por lo que la función es creciente (primera derivada) y cóncava hacia abajo (segunda derivada negativa)

https://www.geogebra.org/graphing?lang=es  hay pones la función y la puedes ver

tengo una duda ya que el dominio según me da es -2  pues si se remplaza 

x me da 0 en el de nominador y -1/2 no 

Fue un error mio, fíjate que incluso cuando busque la asíntota vertical puse -2

bue si me piden hallar el rango y el dominio , el rango sera la asintota en y????

Tienes razón con el dominio es todos los reales menos el -2.

El rango es todos los reales menos el 5/2

Gracias seria así entonces para hacerla en geogebra

Ecxacto