Cómo se calcula la inversa de una matriz mediante el uso de su polinomio característico

No es el mejor método la verdad, es como intentar matar una mosca con un cañón, puedes hacerlo... claro, pero hay maneras más sencillas y eficientes como el método gauss, pero te explico como va la cosa

Para hallar el polinomio característico de una matriz debes hallar los valores x que vuelven el determinante |xI-A| cero(|A-xI| funciona también), recuerda que I es la matriz identidad formada de 1s en la diagonal y A es la matriz

Las raíces de ese polinomio son los valores propios (característicos), tienes que tomar en cuenta la multiplicidad algebraica, es decir cuantas veces es ese valor x raíz del polinomio. Si al menos un valor propio es cero, la matriz no es invertible, puesto que hay una propiedad que dice que los valores propios de una matriz inversa son la inversa de los valores propios de la original. Si tenemos x=0 como valor propio, tendríamos que el valor propio de la inversa es 0^-1, es una división entre cero que es indefinida, así que en ese caso no podríamos hacer nada. Otra cosa para comprobar que estas en buen camino, si multiplicas los valores propios( tantas veces como aparezcan) te debe dar el mismo resultado que el determinante de la matriz, y si los sumas, debes tener el mismo valor que la suma de los valores en la diagonal

Luego debes hallar el espacio nulo (núcleo o kernel) de la matriz xI-A, si tienes 3 valores propios distintos, pues debes hallar el espacio nulo de cada una de esas matrices. Por cierto acá siempre debe haber espacio nulo (otra forma de ver que estas en buen camino). Con eso vas a obtener los vectores propios. Y debes ver la multiplicidad geométrica, es decir, cuantos vectores propios tienes para cada valor propio

Ahora debes verificar que el valor de la multiplicidad algebraica de los valores propios sea igual a la multiplicidad geométrica correspondiente.

Si esto ocurre la matriz es diagonalizable(otra restricción más, si la matriz no es diagonalizable pues no puedes usar este método para hallar la matriz inversa)

Una matriz A diagonalizable tiene la forma A=PDP^-1

P es la matriz que se forma uniendo todos los vectores propios como columna en una sola matriz, D es una matriz diagonal en la que aparece los valores propios. Eso si cuidado con el orden, si pones un vector propio de primero en D, las primeras columnas de P deben ser sus vectores propios correspondientes, es decir, no puedes ponerlo en el orden que quieras.

Y claro ahora debes hallar P^-1... hallar una inversa, Pues para esto te recomiendo volverla una matriz ortonormal, usando el método gram schmidt si tienes multiplicidades distinta de 1, y en el caso en el que tengas multiplicidades de 1 en algunos vectores propios (un solo vector en el espacio nulo de la matriz xI-A, de x el valor propio correspondiente), solo divides entre la norma del vector. Todo esto porque si la matriz es ortonormal, la inversa es la traspuesta de la matriz. Claro puedes usar otro método para hallar la inversa.

De ahí nos queda

A^-1=(PDP^-1)^-1= PD^-1P^-1

Y Hallar la inversa de D es muy sencillo ya que es una matriz diagonal, es solo colocar la inversa de los valores de la diagonal

Ejm si tienes

1 0

0 2    

La inversa de la matriz diagonal es

1/1    0

0     1/2

P y P^-1 ya las tienes solo tienes que multiplicar las tres matrices y listo