Rota y traslada los ejes para identificar la gráfica de la ecuación
Álgebra
1. Encuentra la matriz ortogonal Q que diagonaliza la matriz simétrica A. Después verifica que Q^(T) AQ = D, una matriz diagonal cuyas componentes diagonales son los valores característicos de A.
2. Rota y traslada los ejes para identificar la gráfica de la ecuación y escríbela en forma canónica, por medio de la diagonalización ortogonal de la matriz de la forma cuadrática.
5x^2+12xy-12√13 x=36
1 Respuesta
El procedimiento lo hice en el de Karla. Los vectores propios son
v=2 span<(-1,0,1)>
v=2-√2 span<(1,-√2,1)>
v=2+√2 span<(1,√2, 1)>
P es la matriz que tiene como columna los vectores propios, y D es una matriz diagonal con los valores propios como elementos, Ahora hay que hallar P y P^-1 pero hay una característica que tienen las matrices simétricas y es que pueden ser diagonalizables por una matriz ortogonal, por lo que hallar la inversa es más sencillo
v=2 span<1/√2(-1,0,1)>
v=2-√2 span<1/2(1,-√2,1)>
v=2+√2 span<1/2(1,√2, 1)>
Lo que sigue es el resultado original (ya entenderás a que me refiero más abajo )
A=
|-1/√2 1/2 1/2 | | 2 0 0 | | -1/√2 0 1/√2 |
|0 -√2/2 √2/2 | |0 2-√2 0 | . | 1/2 -√2/2 1/2 |
|1/√2 1/2 1/2| |0 0 2+√2 | | 1/2 √2/2 1/2 |
Q es la primera matriz y Q^-1 es la ultima, poniendolo en forma general nos queda
A=QDQ^-1, despejando D(lo hago paso por paso)
Q^-1A=Q^-1QDQ^-1
Q^-1A=IDQ^-1 (recuerda que la identidad por cualquier matriz es la matriz)
Q^-1AQ=DQ^-1Q
Q^-1AQ=DI
Q^-1AQ=D
Ahora recordando la expresión original; D es la matriz diagonal que posee los valores propios (característicos) de A
2) Ando cansado, escribir por aquí las matrices es un dolor, el código no funciona por alguna razón, luego te ayudo con esta
Se que es complicado, pero por que no agrega las matrices como una imagen así le hago y muchas gracias me ayuda mucho.
Lo tomaré en cuenta para las próximas, ¿con qué programas haces las imágenes de las matrices?
