Demostración de fórmulas para integración por partes

La segunda es más complicada que la primera

$$\begin{align}&\int \cos^n(x) \,dx=\int \cos(x)\cos^{n-1}(x) \,dx\\&u=\cos^{n-1}(x) \qquad dv=\cos(x)dx\\&du=(n-1)\cos^{n-2}(x)(-\sin(x))\,dx \qquad v=\sin(x)\\&\\&\int \cos^n(x) \,dx=\sin(x)\cos^{n-1}(x)+(n-1) \int \sin(x)\cos^{n-2}(x)\sin(x)\,dx\\&\int \cos^n(x) \,dx=\sin(x)\cos^{n-1}(x)+(n-1) \int \sin^2(x)\cos^{n-2}(x)\,dx\\&\int \cos^n(x) \,dx=\sin(x)\cos^{n-1}(x)+(n-1) \int (1- \cos^2(x))\cos^{n-2}(x)\,dx\\&\int \cos^n(x) \,dx=\sin(x)\cos^{n-1}(x)+(n-1) \int \cos^{n-2}(x)\,dx-(n-1)\int \cos^n(x) \,dx\\&n\int \cos^n(x) \,dx=\sin(x)\cos^{n-1}(x)+(n-1) \int \cos^{n-2}(x)\,dx\\&\int \cos^n(x) \,dx=\frac{\sin(x)\cos^{n-1}(x)+(n-1) \int \cos^{n-2}(x)\,dx}{n}\end{align}$$

$$\begin{align}&\int (a^2-x^2)^n \,dx\\&u=(a^2-x^2)^n  \qquad \,dv=\,dx\\&\,du=n(a^2-x^2)^{n-1}(-2x) \,dx \qquad v=x\\&=x(a^2-x^2)^n+2n \int  x(a^2-x^2)^{n-1}xdx=\\&x(a^2-x^2)^n+2n \int  x^2(a^2-x^2)^{n-1}dx=\\&x(a^2-x^2)^n+2n \int  (x^2+a^2-a^2)(a^2-x^2)^{n-1}dx=\\&x(a^2-x^2)^n-2n \int  (-x^2-a^2+a^2)(a^2-x^2)^{n-1}dx=\\&x(a^2-x^2)^n-2n \int  (-x^2+a^2)(a^2-x^2)^{n-1}dx-2a^2n\int (a^2-x^2)^{n-1} \,dx=\\&\\&\int (a^2-x^2)^n \,dx=x(a^2-x^2)^n-2n \int (a^2-x^2)^{n}dx-2a^2n\int (a^2-x^2)^{n-1} \,dx=\\&(1+2n)\int (a^2-x^2)^n \,dx=x(a^2-x^2)^n-2a^2n\int (a^2-x^2)^{n-1} \,dx=\\&\int (a^2-x^2)^n \,dx=\frac{x(a^2-x^2)^n-2a^2n\int (a^2-x^2)^{n-1} \,dx}{2n+1}\\&\\&\end{align}$$

En la 6ta linea sumé y resté a^2 para que quedara -x^2-a^2+a^2 multiplicando a lo que esta dentro del parentesis, luego lo separé en -x^2+a^2 y -a^2