¿Cómo puedo resolver este problema de funciones irracionales?

Si es posible no crees otro tema relacionado a la misma pregunta, no es un regaño ni nada solo que no es necesario, si tienes duda pide más información y las personas de acá con gusto responden.

A tu pregunta. Viendo solamente el denominador vemos que hay un polinomio dentro de una raíz cuadrada, para ver el grado del polinomio vemos el grado más alto, en este caso es 2, pero como está dentro de una raíz queda (x^2)^1/2=x. Por lo que el grado del polinomio es 1

Hola gracias Alejandro, no es un engaño porque en la ultima página están las respuestas del ejercicio y me dice que el grado del numerador es n=1 lo cual es correcto pero el grado del denominador m= -1, ese es mi dilema yo saque el grado del denominador y me dio uno como a vos.

Me dice que no hay asíntota horizontal porque n>m, pero como si n=m.

Para aclarar. ¿Es esta es la función?

$$\begin{align}&Y=\frac{2x}{\sqrt{x^2-25}}\end{align}$$

Si es esa, tiene asintota horizontal en y=2

Lo que puedo suponer es que como esta en el denominador sabes que si tienes 1/x= x^-1 y por eso dicen que tiene grado negativo, pero si tiene asíntota

Es mas tiene otra en y=-2

Si es esa la función Alejandro, gracias ahora me doy cuenta que tengo 1/x = x^-1, me olvide de esa regla. Ahora como sacaste la asíntota horizontal si cuando el grado del numerador es mayor al del denominador (n>m) el libro dice que no hay asíntota horizontal ( existe una asíntota oblicua).

¿Como calculaste Y= 2, y Y= -2 ?

$$\begin{align}&\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{\sqrt{x^2-25}}=\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{|x|\sqrt{1-\frac{25}{x^2}}}=\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{x \sqrt{1-\frac{25}{x^2}}}=\lim_{x \to \infty} \frac{2}{\sqrt{1-\frac{25}{x^2}}}=2\\&\\&\lim_{x \to -\infty} \frac{2x}{\sqrt{x^2-25}}=\lim_{x \to -\infty} \frac{2x}{|x|\sqrt{1-\frac{25}{x^2}}}=\lim_{x \to -\infty} \frac{2x}{-x \sqrt{1-\frac{25}{x^2}}}=\lim_{x \to -\infty} \frac{2}{- \sqrt{1-\frac{25}{x^2}}}=-2\end{align}$$

Primero aclarar que no es correcto hacer eso de que como está en el denominador el grado del polinomio es negativo(fue lo que pense que hicieron pero no es correcto pero si es cierto que cuando el grado del numerados es mayor que el del denominador, no hay asintota horizontal). Qué libro es? Para revisarlo.

Arriba te puse como hallar las asíntotas, saque factor común x^2 en el denominador, se va con la raíz y queda el valor absoluto de x, ahora cuando trabajamos x tiende a infinito se toma el |x| como x positivo, en el caso cuando x tiende a menos infinito se toma el |x| negativo. (Esto quizás no lo conocías, en general el valor absoluto no se suele enseñar en clases y se deja a un lado pero cuando tienes (x^2)^1/2 no obtienes x, obtienes el valor absoluto de x)

Asíntotas oblicuas no hay

Para saber si hay asíntota oblicua se debe hallar la pendiente viendo el lim cuando x tiende a infinito de la función entre x

$$\begin{align}&\lim_{x \to \infty}\frac{\frac{2x}{\sqrt{x^2-25}}}{x}=\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{x|x|\sqrt{1- \frac{25}{x^2}}}=\lim_{x \to \infty}\frac{2}{|x|\sqrt{1- \frac{25}{x^2}}}=0\end{align}$$

La pendiente es cero, no tiene asintota oblicua

El libro es de matemáticas ciclo de nivelación de la universidad, pero yo estoy haciendo estos ejercicios sin hacer el calculo de integrales Alejandro, ese tema no lo vi todavía.

¿Porque es 25/x^2?, ¿ Es por alguna regla de integrales ?.

Quise decir limites todavía no vi limites.

Valor absoluto si lo vi.

Si estoy sonando como un idiota, me disculpo, no es mi intención. Lo que decia de los valores absolutos no me refería a que tú educación no era buena ni nada. Conozco muchos caso de universidades que en cálculo no enseñan sobre el valor absoluto, en ingeniería al menos. Que bueno que estés empezando antes a practicar, va a ayudarte bastante. Aun no has llegado a integrales. Estás empezando con limites, luego verás derivadas y luego integrales.

Estoy sacando en el denominador factor común x^2, x^2-25, notarás que el 25 no tiene un x^2 asi que en "ocasiones normales" no podrías sacar factor común. Pero quiero hacerlo, fíjate que x^2(1-25/x^2)=x^2-25 haciendo la distributiva, así que ambas expresiones son equivalentes

Si se ve valor absoluto, pero hay muchas propiedades que en general se ignoran y no se utilizan

Si aplicando distributiva lo entendí.

Si te entiendo, si obvio siempre hay que estudiar, lo de valor absoluto no me lo enseñaron en secundaria lo aprendí en este libro. Con respecto al ejercicio estoy resolviéndolos con la fórmula de función homográfica.

En la página donde da la respuesta es esa me da los valores de x que son iguales a los que me dio x = -5; 5 y con respecto a Y me dice que no hay asíntotas horizontales porque el grado del numerador n=1 y el grado del denominador m= -1 y me da la gráfica.

¿Crees qué me puedas pasar una foto de la gráfica? ¿O de la solución mejor? Las asíntotas verticales son correctas

Si hay te paso.

Pesa demasiado la foto pero te paso la foto del paint lo dibuje.

Tampoco me la permite subir pero bueno te la describo la parábola viene desde- infinito sin tocar el -2 y llega a -5 y baja hasta - 29 más o menos. Luego asciende cruzando en pendiente hacia arriba y llega a 29 en Y, hasta que desciende en línea por 5 y da una curva hacia infinito positivo sin tocar el 2 en Y.

En paint no me lo deja subir disculpa.

Tenias razón Y = -2;2 pero no me lo da solo me dice que el grado del denominador es n = 1 y  el grado del denominador m = -1 cuando n>m, no hay asíntota horizontal que raro.

Tengo que buscar la forma de calcular la imagen con la fórmula de la homográfica.

Porque los otros ejercicios también poseen raíz cuadrada como este.

Si debe verse asi

Tengo mucha curiosidad en por que toma m como negativo.

Mi consejo es que siempre lo tomes positivo aunque este en el denominador, y tal como dice si m<n no hay asintota horizontal. Pero en este no es el caso, quiero pensar que es un error que hizo el autor, revisa si hace lo mismo en otros ejercicios con denominador

Me dices el titulo del libro y el autor para buscar y revisarlo para ver que dice en paginas anteriores, porque es un error que diga m=-1. Pero quiero ver si es por algo de ese ejercicio y se equivocô (que es común en los libros de matemáticas sobre todo si son primeras ediciones) o es que el autor estâ definiendo las cosas de manera distinta

Si Alejandro es correcto el gráfico, muchas gracias y espero ir por buen camino. Quiero pensar que el grado del denominador sea por lo que vimos antes 1/x = x^2 -1, mientras con el libro fue impreso en el mes de septiembre del 2015 en copicentro por Graciela Ethel Vedia. Quisiera preguntarte si se puede sacar Y de otra forma que no sea con limites.

Pero es que " Quiero pensar que el grado del denominador sea por lo que vimos antes 1/x = x^2 -1" eso del denominador no tiene sentido, si esta haciendo eso, primera vez que veo que alguien lo hace así y no esta bien. Como te dije arriba, lo mejor es que no tomes en cuenta esos grados negativos y velos siempre positivo.

¿A qué te refieres con sacar Y? ¿La asintota horizontal?

en el ejercicio ya vimos que dice que m=-1, pero antes mencionaste que y=2 e y=-2 eran asintotas. Mi pregunta es, ¿en la gráfica que muestra la solución aparecen esas asíntotas? Si es así, estoy convencido que fue un error lo de tomar m=-1.

Si eso haré. Quise decir como saco la imagen osea Y. Porque yo lo hacia sobre la fórmula Homografica Y = a1X/b1X.

Normalmente te diría que graficaras usando derivadas, pero no las has visto así que no es una opción.

Te recomiendo despejar por y hallar la función inversa(recuerda si despejas por, y luego intercambias los valores de por por y, y lo de y por por obtienes la inversa), te muestro como, el procedimiento cuando hay raíces debe ser muy similar siempre, quizás debas usar la ecuación cuadrática en algunas ocasiones, en otras no. Luego hallas el dominio de esa función inversa y obtendrás el rango de la función original

$$\begin{align}&y=\frac{2x}{\sqrt{x^2-25}}\\&y \sqrt{x^2-25}=2x\\&y^2x^2-25y^2=4x^2\\&4x^2-y^2x^2=-25y^2\\&x^2(4-y^2)=-25y^2\\&x^2=\frac{-25y^2}{4-y^2}=\frac{-25y^2}{-(y^2-4)}\\&x=\sqrt{\frac{25y^2}{y^2-4}}\\&y=\sqrt{\frac{25x^2}{x^2-4}}\\&y=5x \sqrt{\frac{1}{x^2-4}}\end{align}$$

Para hallar el dominio de la funcion inversa primero hay que  notar que solo hay problemas cuando x^2-4=0 y cuando x^2-4 es negativo

x^2-4=0 en x=2 y x=-2, pero eso ya lo sabiamos, ya que esas son las asintotas que vimos antes de la funcion original.

¿Ahora cuándo x^2-4 es negativo? Pues tomemos tres intervalos (-infinito,-2)(-2,2)(2, infinito)

Estoy separando el intervalo de menos infinito a infinito, pero parando en donde teníamos las restricciones x=2 y x=-2. Ahora elige un valor en cada intervalo y sustitúyelo en x^2-4 y revisa el signo, veras que es negativo en el intervalo (-2,2) y en los otros dos intervalos da un valor positivo. Y recuerda La raíz no puede ser negativa, por lo que ahí esta la restricción del dominio de la función inversa.

El dominio de la función inversa es (-infinito,-2)U(2, infinito). Y el dominio de la función inversa es el rango de la función original.

Espero haberlo explicado bien, por escrito no es tan sencillo

Muchas gracias Alejandro por tu ayuda claro como no me di cuenta que tonto soy, si sacando la inversa, el dominio de la inversa es la imagen de la función original, ya había visto el tema de función inversa. Te vuelvo a agradecer por tu ayuda mil gracias !!!.