Como puedo encontrar las tres soluciones de los valores de K dado un sistema de ecuaciones no homogéneos

Ok, asumiendo que está bien lo que hiciste, entonces intentaremos triangular la matriz, pare esto haremos la fila 2 igual a la fila 2 anterior menos 2 veces la fila 1 y a la fila 3 igual a la fila 3 anterior menos la fila 1, esto hace que la matriz resultante quede...

La matriz ya está triangulada, ahora queda ver las consignas:

a) Tenga solución única, para esto el término k^2 - 9 debe ser distinto de 0, o sea

k^2-9 <> 0

(k-3)(k+3) <> 0

K debe ser distinto de 3 y de -3

b) no tenga solución

Para eso tiene que haber un absurdo en alguna de las filas, por ejemplo llegar a algo del estilo

1 = 2

Ya sabemos que ocurre para los valores de k distinto de +/- 3, veamos ahora que pasa para esos dos valores

k=3, entonces la última fila queda

0 = 3 * 2 = 6 Absurdo! (esto es lo que pedía el punto  y es un valor de k que cumple que el sistema no tiene solución

ahora veamos el otro caso

k = -3, queda

0 = 3 * (-4) = -12 también es absurdo

Por lo tanto para k = +/-3 el sistema es indeterminado (no tiene solución)

Ya revisamos todos los valores posibles de k, por lo tanto no hay ningún valor, para el cual el sistema tenga soluciones múltiples.

Salu2

Las matrices que pusiste no están del todo bien, la que es un número, desconocido pero es un número. En la primera matriz por ejemplo pusiste en la primera fila 1 1 1, pero es k 1 k. Lo que tienes que hacer es reducir la matriz tal cual como la harías si en vez de k tuvieras un número. Ahora hay unas cosas que cambian, primero, es más complicado. Segundo si vas a dividir entre k, o algún valor que tenga en el denominador k, tienes que hacer un caso aparte y es cuando el denominador =0, porque claro no puedes dividir entre cero, ahí en los subcasos es más sencillo porque tienes que sustituir todos los valores de k por ese número.

Dicho eso, te voy a ayudar, pero son complicadas esas que te colocaron, así que voy a tardar un tiempo.

En la primera línea puse "la que es un numero", fue el corrector, quise decir la k es un numero

sdfsdf

Lo mismo que hizo Gustavo, pero tuvo un error ahí. Este ejercicio es más sencillo que el primero, ya lo voy a hacer, pero en este caso no hay una operación en la que se necesitara dividir por k, lo que hay que ver ahora es que en la última fila cuando k=-3, y cuando k=3 toda la fila es cero, hay que comprobar a que es igual, al sustituir los valores de k, vemos que cuando k=-3, el lado derecho nos da -6, es decir la suma de 0 da -6, eso no es posible, no hay solución, cuando k
=3, el lado derecho y el izquierdo nos da 0, hay entonces infinitas soluciones ya que solo hay dos pivotes. Y para los casos en que k es distinto de 3 y -3, pues toman valores cualesquiera, pero no afectan por lo que la solución es única