Solucionar limite al infinito que contiene racionales
Intento resolver el siguiente limite
$$\begin{align}&\lim _{x\to \infty }\left(x+\sqrt[3]{1-x^3}\right) resultado =0\end{align}$$De esta manera lo intento solucionar pero no se que mas hacer nota: no se puede hacer uso de L-hopital:
Si podéis resolverlo paso a paso y si cometí algún error os agradecería bastante!
1 Respuesta
Multiplicamos y dividimos por x manteniendo la igualdad:
x + ∛(1-x^3) = x * { (x/x) + ∛ [ (1/x^3) - (x^3 / x^3)] }; (observar que al introducir la x dividiendo dentro del signo ∛, debo elevarla al cubo); simplifico y tomo límite a infinito:
∞ * [ 1 + ∛ (0 - 1)];
∞ * (1-1);
∞*0;
0.
Un razonamiento intuitivo: El radicando, al tender x a infinito, el 1 se hace despreciable pudiendo tomarse como: ∛ (-x^3) = (-x). Queda luego x-x=0.
Multiplico y divido por { x^2 +x∛(1-x^3)+ [∛(1-x^3)]^2 }
[x+ ∛(1-x^3) ] *{ x^2 +x∛(1-x^3)+ [∛(1-x^3)]^2 } / { x^2 +x∛(1-x^3)+ [∛(1-x^3)]^2 }
(x^3 + 1 - x^3 ) / { x^2 +x∛(1-x^3)+ [∛(1-x^3)]^2 } ;
1 / { x^2 +x∛(1-x^3)+ [∛(1-x^3)]^2 } ; divido numerador y denominador por x a la mayor potencia, en este caso: x^2:
(1/x^2) / (( { x^2 + x∛(1-x^3)+ [∛(1-x^3)]^2} / x^2 )) ;
división larga en el denominador:
1 + ∛[(1/x^3) - 1] + { [∛ (1-2x^3+x^6) ]/x^2 };
1 + ∛[(1/x^3) - 1] + {[∛ [(1/x^6)- (2/x^3)+1)] ; tomamos límite para x-> ∞:
El numerador queda (1/∞) = 0;
El denominador: 1 + (-1) +1 = 1; (porque 1/x^3; 1/x^6 y 2/x^3 se hacen 0.
0/1=0, que es el resultado final.
Corrijo un signo:
Multiplico y divido por { x^2 -x∛(1-x^3)+ [∛(1-x^3)]^2 }
[x+ ∛(1-x^3) ] *{ x^2 -x∛(1-x^3)+ [∛(1-x^3)]^2 }/ { x^2 -x∛(1-x^3)+ [∛(1-x^3)]^2 }
(x^3 + 1 - x^3 ) / { x^2 x∛(1-x^3)+ [∛(1-x^3)]^2 } ;
1 / { x^2 -x∛(1-x^3)+ [∛(1-x^3)]^2 } ; divido numerador y denominador por x a la mayor potencia, en este caso: x^2:
(1/x^2) / (( { x^2 - x∛(1-x^3)+ [∛(1-x^3)]^2} / x^2 )) ;
división larga en el denominador:
1 - ∛[(1/x^3) - 1] + { [∛ (1-2x^3+x^6) ]/x^2 };
1 - ∛[(1/x^3) - 1] + {[∛ [(1/x^6)- (2/x^3)+1)] ; tomamos límite para x-> ∞:
El numerador queda (1/∞) = 0;
El denominador: 1 - (-1) +1 = 1; (porque 1/x^3; 1/x^6 y 2/x^3 se hacen 0.
0/3=0, que es el resultado final.
Norberto, 0 * Infinito es otra indeterminación y deberías probar que es 0 - Anónimo
El procedimiento está bien excepto cuando cambia la x, por lo que mencionas de la indeterminación, al final queda lim x tiende infinito [x(1-1)]= y primero se resuelve el 1-1 queda 0.x que es cero, y el lim cuando x tiende a infinito de cero es cero - Alejandro Salazar
Es correcto tu comentario, Gustavo. Ahora creo que sí queda demostrado este límite. - Norberto Pesce
Ahora sí Norberto, pero igual creo que tienes un detalle. El factor que debes usar para multiplicar y dividir la expresión original es: { x^2 - x∛(1-x^3)+ [∛(1-x^3)]^2 }. Fijate que el segundo término es negativo y es el que hace que se simplifiquen muchos términos en la expresión resultante. Igualmente no sé como llegaste a que ese tenía que ser el factor a utilizar :-) - Anónimo
Así es Gustavo (ya lo he corregido). Lo saqué por factorización de: a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2); tomé: x=a; ∛(1-x^3) = b.Con esto desaparece la raíz quedando: x^3 + 1 - x^3; etc. - Norberto Pesce