Ecuaciones diferenciales - Método de series de potencias

Disculpa la tardanza, se me borro todo sin querer y tuve que comenzar de cero

Lo primero que vamos a hacer es escribir a y como una serie de potencias

$$\begin{align}&y=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\\&y'=\sum_{n=1}^{\infty}a_nnx^{n-1}\end{align}$$

Lo que tenemos que hacer es ver si podemos encontrar un valor para a_n que nos permita dar con la respuesta del ejercicio.  Fijate que la primera derivada tiene el sumatorio empezado en 1 y no en 0, y es que cuando n=0, x^n es 1 y sabiendo que a_0 es un numero, la derivada es cero. Vamos a sustituir nuestras series en la ecuacion

$$\begin{align}&\sum_{n=1}^{\infty}a_nnx^{n-1}-\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=0\end{align}$$

Lo primero que debemos hacer es unir estas series, para ello hay que hacer dos cosas, primero hacer que las x de las series tengan la misma potencia(preferiblemente n) y luego hacer que ambas series comiencen con el mismo valor de n(cero en general; pero no es del todo importante). Ya la segunda esta hecha, nos enfocaremos en la primera, vamos a hacer un cambio i=n-1, asi el exponente de la x se volvera i solo, luego sabiendo que no importa si la serie esta en base a i,n,k,j,etc. sustituimos esas i por n(parecerà trampa, pero funciona)

$$\begin{align}&\sum_{n=1}^{\infty}a_nnx^{n-1}\\&i=n-1\\&\sum_{i=0}^{\infty}a_{i-1}(i+1)x^{i}\\&\sum_{n=0}^{\infty}a_{n-1}(n+1)x^{n}\\&\\&Sustituyendo \ en \ la \ ecuacion\\&\\&\sum_{n=0}^{\infty}a_{n-1}(n+1)x^{n}- \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=0\\&\sum_{n=0}^{\infty} ((n+1)a_{n+1}-a_n)x^n=0\\&\end{align}$$

Ahora como esta igualado a cero vamos a decir que (n+1)a_{n+1}-a_n es lo que debe ser cero. Luego vamos a sustituir valores de n para ver si encontramos un patron

$$\begin{align}&(n+1)a_{n+1}-a_n=0\\&a_{n+1}=\frac{a_n}{n+1}\\&\\&n=0\\&a_1=\frac{a_0}{1}\\&n=1\\&a_2=\frac{a_1}{2}=\frac{a_0}{2.1}\\&n=2\\&a_3=\frac{a_2}{3}=\frac{a_0}{3.2.1}\\&n=3\\&a_4=\frac{a_3}{4}=\frac{a_0}{4.3.2.1}\\&.\\&.\\&.\\&a_n=\frac{a_0}{n!}\end{align}$$

Creo que el patron es claro no?, todos los valores de a_n tienen en el numerador a_0, y en el denominador la multiplicacion de valores de 1 hasta n(eso es n!)

Ya tenemos entonces el valor de n que estábamos buscando, ahora hay que sustituirlo en la serie de nuestra función. Fíjate que a_0 siempre es el mismo valor para cualquier valor de n, por lo que lo podemos sacar del sumatorio por ser constante

$$\begin{align}&y=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\\&y=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_0}{n!}x^n\\&y=a_0 \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\\&-----\\&Recordar\\&e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\\&-----\\&y=a_0 e^x\\&y=Ce^x\end{align}$$