Aplicar transformada de Laplace para hallar: y(t)

Como siempre, voy a asumir que conoces las transformadas. Y la parte de fracciones parciales voy a dar el resultado directo. Pero si tienes alguna duda la contesto sin problema. El lado derecho de la igualdad es un poco más complicada porque es de la forma t^nf(t).

Primero explico esa ya que es la más difícil, las otras son más directas. La transformada para ese tipo de funciones es

$$\begin{align}&(-1)^nF^{(n)}(s)\end{align}$$

Donde n es la potencia a la que esta elevado n, multiplicado por la derivada n-sima  con respecto a s de la transformada de f(t)

Nos queda entonces

$$\begin{align}&sY(s)-y(0)+Y(s)=(-1)^1\frac{d}{ds}(\frac{1}{s+1})\\&sY(s)-y(0)+Y(s)=\frac{1}{(s+1)^2}\\&(s+1)Y(s)=1+\frac{1}{(s+1)^2}\\&(s+1)Y(s)=\frac{s^2+2s+2}{(s+1)^2}\\&Y(s)=\frac{s^2+2s+2}{(s+1)^3}\\&\\&Y(s)=\frac{1}{s+1}+\frac{1}{\left(s+1\right)^3}\end{align}$$

Ahora nos queda hacer las transformadas inversas, la primera es bastante directa, la segunda es mucho mas complicada(si no manejas mucho quizas no se te ocurra)

Voy a enfocarme entonces en la segunda. Para ello voy a recordar una de las transformadas

$$\begin{align}&e^{ct}f(t)=F(s-c)\end{align}$$

Lo de la derecha significa que  a la transformada de f(t) se le agrega un s-c en cada una de las s.

Ahora ya que queremos hallar la inversa de 1/(s+1)^3

Si te das cuenta puedes notar que cumple lo que puse arriba, ya que tenemos una función cuya transformada es 1/s^3, pero a las s se le inserta s-c, en nuestro caso s-(-1)

Es decir que la transformada inversa es

$$\begin{align}&\frac{1}{(s+1)^3}\\&e^{-t}f(t)\end{align}$$

Quien es f(t)? pues esa función cuya transformada es 1/s^3

$$\begin{align}&\frac{1}{s^3}=\frac{1}{2!}\frac{2!}{s^3}=\frac{1}{2!}t^2\\&\\&Entonces\\&La \ transformada \ inversa \ de  \frac{1}{(s+1)^3} es\\&e^{-t}\frac{t^2}{2}\end{align}$$

Regresando al ejercicio inicial nos queda

$$\begin{align}&\\&Y(s)=\frac{1}{s+1}+\frac{1}{\left(s+1\right)^3}\\&y(t)=e^{-t}+\frac{t^2e^{-t}}{2}\end{align}$$