Para que valor de c, la recta y=x es tangente con la parábola y=x^2+C.
Ya encontré gráficamente que C=1/4, pero no se como justificarlo
2 respuestas
La tangente o primera derivada de y=x es igual a 1 (es decir, tiene una inclinación de 45°).
Debemos encontrar los puntos en que:
a) x= x^2+ C;
b) f ' (x^2+C) = 1; es decir: que tiene igual tangente que y=x en ese punto.
Para b): 2x=1; x= 1/2;
Sustituyo en a): 1/2 = (1/4) + C; C= (1/2) - (1/4); C= 1/4.
Corroboro: el punto (1/2; 1/2):
Para la recta: 1/2 = 1/2; la tangente de esta recta (y=x), igual a su primera derivada, es 1 para todo valor de x.
Para la parábola: y = (1/2)^2 + 1/4; y=1/2; coincidente con el punto; además, si derivo:
y ' = 2x + 0; y ' = 2*(1/2); y ' = 1; haciendo iguales las tangentes de la recta y la parábola en el punto (1/2; 1/2).
Como las rectas se deben interceptar voy a sustituir el y=x en la ecuación de la parábola
$$\begin{align}&x=x^2+c\\&x^2-x+c=0\\&x_{1,2}=\frac{1 \pm \sqrt{1-4c}}{2}\\&\\&\text{Al hacer la resolvente encuentras las intersecciones de la recta con la parabola, nota que si la raiz}\\&\text{es positiva, hay dos puntos de interseccion, si la raiz es negativa, no hay punto de interseccion }\\&\text{y si es cero; solo hay una interseccion. Lo que hay que hacer es ver cuando es cero}\\&1-4c=0\\&c=\frac{1}{4}\end{align}$$
Esta forma de hacerlo es mejor en general(si conoces derivadas). El mío es más rápido pero funciona para este caso en específico solamente - Alejandro Salazar