Como resolver ejercicio de Integración por partes

Es cierto que pasando la multiplicación de senos como diferencia de cosenos el ejercicio es más sencillo, también usando el cambio de variable u=2x y luego usando el seno del ángulo doble es también más directo, pero como quieres usar integración por partes, vamos allá. Una ventaja de por partes cuando tenemos senos y cosenos, es que podemos aplicar el procedimiento varias veces hasta que nos quede una integral parecida a la inicial y eso es lo que vamos a hacer.

$$\begin{align}&\int \sin 2x \sin 4x \, dx\\&u=\sin 2 x \\&du=2 \cos 2x\\&dv=sin4x \, dx\\&v=-\frac{1}{4}\cos 4x\\&\\&\int \sin 2x \sin 4x \, dx=-\frac{1}{4}\cos 4x \sin 2x- \int -\frac{1}{4}\cos 4x. 2 \cos 2x \, dx\\&\int \sin 2x \sin 4x \, dx=-\frac{1}{4}\cos 4x \sin 2x+\frac{1}{2} \int \cos 4x \cos 2x \, dx\\&\\&--\\& \int \cos 4x \cos 2x \, dx\\&u=\cos 2x\\&du=-2 \sin 2x \, dx\\&dv= \cos 4x \, dx\\&v=\frac{1}{4}\sin 4 x\\& \int \cos 4x \cos 2x \, dx=\frac{1}{4}\sin 4 x \cos 2x- \int  \frac{1}{4}\sin 4 x.-2 \sin 2x \, dx\\& \int \cos 4x \cos 2x \, dx=\frac{1}{4}\sin 4 x \cos 2x+\frac{1}{2}\int \sin 4x \sin 2x \,dx\\&\text{Sustituyendo esto en la original}\\&--\\&\int \sin 2x \sin 4x \, dx=-\frac{1}{4}\cos 4x \sin 2x+\frac{1}{2} \bigg( \frac{1}{4}\sin 4 x \cos 2x+\frac{1}{2}\int \sin 4x \sin 2x \,dx\bigg)\\&\frac{3}{4} \int \sin 2x \sin 4x \, dx=-\frac{1}{4}\cos 4x \sin 2x+\frac{1}{8} \sin 4x \cos 2x\\&\int \sin 2x \sin 4x \, dx=\frac{-\cos 4x \sin 2x+\frac{\sin 4x \cos 2x}{2} }{3}\\&\\&\\&\end{align}$$