Cual es la probabilidad de que después a los 9 días hayan muerto menos 150 células

No se como vas con el tema así que intenté explicarlo lo mejor posible, si lo manejas más o menos, lo importante esta en negritas y en los cuadros

La distribución poisson nos dice cual es la probabilidad de que ocurra n sucesos en un tiempo determinado. La función de densidad es

$$\begin{align}&f(X=x,\lambda)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}\end{align}$$

La formula no la recordaba, la saqué del libro Probability and Statictics with R

Donde x representa la cantidad de veces que quieres que ocurra el suceso y lambda es una constante que nos dice la cantidad de veces que ocurre el suceso en un periodo determinado, en este caso nos dice que hay 13/día; pero queremos sabes es en 9 días por lo que multiplicamos ese valor por 9

lambda en este ejercicio = 13*9=117

En este ejercicio nos piden

$$\begin{align}&P(X<150)\end{align}$$

Y de aquí tenemos que tener claro varias cosas, primero la poisson es una distribución discreta(no es continua, solo toma una cierta cantidad de valores; no puede haber por ejemplo media célula muerta). Segundo, tenemos X<150, pero en la formulita de arriba nos dice X=x, para hallar el x<150 habría que hallar la probabilidad de x=0,x=1,etc y luego sumar esos valores de x=0 hasta x=149(Porque nos piden menores a 150 y no puede haber 149.9 células muertas)

Nos queda entonces

$$\begin{align}&P(X<150)=\sum_{k=0}^{149}\frac{e^{-117}117^k}{k!}=0.9980999631544649\end{align}$$

Yani, más allá del razonamiento de Alejandro, te dejo un par de comentarios.

1) El valor correcto de esa sumatoria debería ser 0.99855551 (calculada con la función Poisson. Dist del Excel)

2) Calcular esa sumatoria es poco menos que imposible, salvo que tengas Excel o alguna otra herramienta de cálculo y entonces ya podrías calcularla directamente, pero lo que debes saber es que si lambda es "suficientemente grande" (acá muchos usan que debe ser mayor a 30), entonces por el teorema central del límite puedes aproximar la Poisson con una distribución Normal, tal que

$$\begin{align}&Si\ X \ es \ P(\lambda)\\&\to\\&Y=\frac{X-\lambda}{\sqrt{\lambda}}\ es \ N(0,1)\end{align}$$

Por lo que en este caso quedaría calcular el valor de la Normal(0,1) para 3.05 (que es (150 - 117) / Raiz(117)

Si haces eso te da 0.998856

Salu2