Integrales triples cambio de coordenadas

$$\begin{align}&\int_{-2}^{-2} \int _{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}} \int_{x^2+y^2}^{4}x \,dz \, dy \, dx\end{align}$$

Es esta la integral que quieres?

¿Solo quieres como quedaría la integral con cambio de coordenadas?

Escribí -2 dos veces, arriba se supone es un 2

Es de -2 a 2 

Y solo como quedaría la integral con cambio de coordenadas sin resolver

Ok, perfecto.

Primero quiero dejar claro algo que es clave para ver como vamos a realizar el cambio de coordenadas. Una integral triple es básicamente una integral unidimensional dentro de una integral doble

$$\begin{align}&\int_{-2}^{-2} \int _{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}} \int_{x^2+y^2}^{4}x \,dz \, dy \, dx\end{align}$$

COORDENADAS CILINDRICAS

Recordemos

$$\begin{align}&x = r\cos \theta \hspace{0.25in}y = r\sin \theta \hspace{0.25in}z = z\\&dV = r\;dz\,dr\,d\theta\end{align}$$

Escribamos de donde a donde van cada una de las variables

$$\begin{align}&-2< x <2\\&-\sqrt{4-x^2}< y<\sqrt{4-x^2}\\&x^2+y^2< z<4\end{align}$$

Como mencioné arriba una integral triple es una integral dentro de una integral doble. Vamos a enfocarnos en Y y en X y cual es el dominio que encierra. Por lo que vemos en lo que escribimos arriba Y se està moviendo dentro de una circunferencia de radio 2 situada en el centro(Creo que es claro, si no lo es me dices y te explico), X va de -2 a 2; es decir el dominio de la integral doble es toda esa circunferencia.

Recordemos que r es hasta que distancia quieres recorrer y theta en las coordenadas cilíndricas(que es lo mismo que las polares solo que en tres dimensiones) es el angulo de giro, nos dice de que angulo a que angulo queremos recorrer, y este viene dado por el dominio de la integral doble. Como el dominio es una circunferencia y quieres recorrerla entera(ya que esta en el centro) entonces

$$\begin{align}&0< \theta <2 \pi\\&0< r<2\end{align}$$

Ahora solo nos falta transformar los extremos de integracion de Z en terminos de theta y r

$$\begin{align}&x^2+y^2< z <4\\&x^2+y^2=(r \cos \theta)^2+ (r \sin \theta)^2=r^2\\&4< z < r^2\end{align}$$

La integral en coordenadas cilindricas nos queda entonces

$$\begin{align}&\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2} \int_{r^2}^{4} r \cos \theta  .r \,dz \,dr \, d \theta\end{align}$$

Escribí mal en el penúltimo cuadro y puse primero x^2+y^2<z<4 (que esta bien) y luego puse 4<z<r^2, ese esta al reves

En esféricas no es viable por cierto

Ok, eso significa que no se puede pasar a coordenadas esféricas? 

Se puede. Lo que sucede es que uno de los extremos de integración de z es x^2+y^2 que es un paraboloide que no es una región "sencilla" en esféricas. La expresión resultante es complicada. Si la necesitas me dices

Ok,pues si quisiera saber como quedaría en esféricas 

Vale, ¿si eres fastidioso no? (Es broma eh, lo digo con un tono sarcástico)

Coordenadas Esféricas

Recordemos

$$\begin{array}{c}x = \rho \sin \varphi \cos \theta \hspace{0.25in}y = \rho \sin \varphi \sin \theta \hspace{0.25in}z = \rho \cos \varphi \\ {x^2} + {y^2} + {z^2} = {\rho ^2}\end{array}$$

$$\begin{align}&dV = {\rho ^2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi\end{align}$$

el dV es el jacobiano

Y que el angulo phi va de 0 a pi (en un principio) y theta va de 0 a 2 pi (o -pi a pi, es lo mismo) también en un principio.

Por ahora aplicamos el mismo razonamiento que en cilíndricas y es que las integrales triples es una integral dentro de una integral doble, como mencioné en las cilíndricas, la integral doble en este caso nos dice que el dominio es una circunferencia de radio 2 y que como x va de -2 a 2 se recorre la circunferencia completa por lo que

$$\begin{align}&0< \theta < 2 \pi\end{align}$$

Ahora la ventaja de las cilíndricas es que permite trabajar una integral triple (piensa en volumenes) en terminos de una integral doble(piensa en áreas) y luego agregándole z que viene a representar la altura. Pareciera que cilíndricas son mejores, pero no, depende del caso, en este caso cilíndricas ayuda mucho, no siempre es así.

Esféricas tiene sus ventajas, si trabajamos con esferas, o conos, etc esféricas tiene sus buenos usos, pero más allá de eso se va al (inserte cualquier palabra aquí)

Y es que rho y phi no dependen solamente del dominio de la integral doble.

Bueno phi es sencillo en este caso, tenemos z=4 que es un plano y z=x^2+y^2 que es una paboloide (una parábola en tres dimensiones), una parábola sola va hacia arriba, nos olvidamos de los z negativos. Phi que es el ángulo de elevación (ve la imagen, y que mencioné que en un principio va de 0 a pi permite ver todos los puntos de arriba a abajo, claro que con coordenadas de theta y rho adecuados), pero como queremos solo los valores positivos de z ya que z=4 es un valor positivo de z y z=x^2+y^2 es positivo o cero siempre entonces phi va de 0 a pi/2

Esto no es del todo cierto, hay que modificar algo para la integral, pero abajo entro en detalles

Ahora para hallar rho tenemos que hacer uso de los extremos de z, recordemos que

$$\begin{align}&x^2+y^2< z <4\\&\\&\text{Haciendo el cambio de coordenadas:}\\&\rho^2 \sin ^2 \varphi \cos^2 \theta+ \rho^2 \sin^2 \varphi \sin^2 \theta<\rho \cos \varphi<4\\&\rho^2 \sin^2 \varphi< \rho \cos \varphi <4\\& \\&\rho^2 \sin^2 \varphi=\rho \cos \varphi\\&\rho=\frac{\cos \varphi}{\sin^2 \varphi} \\&\\& \rho \cos \varphi =4\\&\rho=\frac{4}{\cos \varphi}\\&\\&\end{align}$$

Ya tenemos rho, pero hay un detalle, y es que las coordenadas esfericas piensa como que si escaneara la region que uno quiere de arriba a abajo, lo primero que va a hacer es "leer" el z=4 y luego va a empezar a leer el z=x^2+y^2, en cada region el valor de rho es distinto (Lo puedes mirar en las expresiones de rho que vimos arriba y que son distintas)

Eso significa que no podemos hacer una sola integral, tienen que ser dos, una para cada rho, pero luego el valor de phi no es el mismo para cada integral (no va de 0 a pi/2  para cada integralcomo dije antes) ya que las coordenadas esfericas que "lee" de arriba abajo va cambiando el valor de phi(de phi =0 a un angulo desconocido) y va a utilizar el valor de rho que nos dio para el plano, pero cuando llegue al paraboloide tiene que utilizar el otro valor de rho(y en esta integral el valor de phi ya no empieza en cero, empieza en donde termino de leer el plano, que es ese angulo desconocido que mencioné arriba)

Tenemos que hallar la interseccion entonces para hallar para que valor de phi se intersectan

Igualamos los valores de rho entonces

$$\begin{align}&\frac{4}{\cos \varphi}=\frac{\cos \varphi}{\sin^2 \varphi}\\&4=\cot^2 \varphi\\&\varphi= cot^{-1}(2)\end{align}$$

Es decir la primera integral (la que lee al plano) va de phi=0 hasta phi= arcotangente(2) y la segunda va de  phi= arcotangente(2) hasta pi/2

La suma de las integrales son

$$\begin{align}&\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{cot^{-1}(2)} \int_{0}^{\frac{4}{\cos \varphi}} \rho \sin \varphi \cos \theta \rho^2 \sin \varphi \, d\rho \, d \varphi \, d \theta+\int_{0}^{2 \pi} \int_{cot^{-1}(2)}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{\frac{\cos \varphi}{\sin^2 \varphi}} \rho \sin \varphi \cos \theta \rho^2 \sin \varphi \, d\rho \, d \varphi \, d \theta\end{align}$$

Joder, que mal, por alguna razon se me borró todo lo que tenía escrito, incluso apareció que se mandó pero no aparece nada... Vi el mensaje cuando lo escribiste (hace 43 minutos en el momento que escribo, ya te imaginas cuanto tiempo tardé) y estoy agotado, como quiero quedar bien contigo y quiero entregar algo decente dame tiempo para descansar