Utiliza la definición de continuidad y las propiedades de los límites para demostrar que la función es continua en número dado

Por definición, una función es continua en un punto cuando se cumple:

a) Está definida en el punto;

b) Tiene límite en el punto;

c) El valor en el punto y el límite son iguales.

Para el item a), vemos que la función está definida para todo t < o = 8, porque fuera de este intervalo se hace negativo el radicando y el resultado es un complejo. t=4 está comprendido en el intervalo de validez.

En el item b), no ofrece dificultades para hallar el límite en cualquier punto del intervalo de validez (que incluye a t=4), y lím t->4 = 18; También los límites laterales, tanto por derecha como por izquierda valen 18.

El item c), el valor en t=4 es igual a 18;  f(4) = 18.  Valor y límites son iguales.

La función es continua en t=4.

Se deben cumplir dos cosas

1) T = 4 sea parte del dominio de la función f, lo cual es cierto, además

$$\begin{align}&f(4)=18\end{align}$$

2) que exista el límite en t = 4, es decir

$$\begin{align}&\lim\limits_{t\to4}f(t)=18\end{align}$$

Esto último debemos probarlo. Usaremos la definición del límite:

• Para empezar tenemos un número delta estrictamente positivo, de forma que

$$\begin{align}&|t-4|<\delta \iff 4-\delta < t < 4 +\delta\end{align}$$

• Luego empecemos por la función raíz cuadrada

$$\begin{align}&4-\delta < t < 4 + \delta \Longrightarrow 4-\delta < 8-t < 4 + \delta\\&\\&\text{Si consideramos que }0<\delta < 4 \text{ podemos hacer los siguiente:}\\&\\&\sqrt{4-\delta} < \sqrt{8-t} < \sqrt{4 + \delta}\\&\\&\text{Con un poco de esfuerzo podemos deducir:}\\&\\&-\dfrac{\delta}{2}+2<\sqrt{4-\delta} < \sqrt{8-t} < \sqrt{4 + \delta}< \dfrac{\delta}{2}+2\\&\\&-\dfrac{\delta}{2}+2< \sqrt{8-t} < \dfrac{\delta}{2}+2\end{align}$$

• Ahora con la función cuadrática

$$\begin{align}&(4-\delta)^2< t^2 <(4+\delta)^2\\&\\&16-8\delta+\delta^2 < t^2 < 16+8\delta+\delta^2\\&\\&-8\delta+\delta^2 < t^2-16 < 8\delta+\delta^2\\&\\&\text{Con otro poco de esfuerzo se deduce, teniendo en cuenta que: }0<\delta < 4\\&\\&-12\delta<-8\delta+\delta^2 < t^2-16 < 8\delta+\delta^2<12\delta\\&\\&-12\delta< t^2-16 <12\delta\end{align}$$

• finalmente tenemos

$$\begin{align}&-\dfrac{25}{2}\delta< f(t)-18<\dfrac{25}{2}\delta\\&\\&|f(t)-18|<\dfrac{25}{2}\delta\\&\\&\text{Hacemos: }\delta=\dfrac{2}{25}\varepsilon\\&\\&\text{Y tenemos }\\&\forall\varepsilon\in \mathbf{R} (0 < \varepsilon < 50), \exists\delta>0,|t-4|<\delta \Longrightarrow |f(t)-18|<\varepsilon\end{align}$$

Con eso probamos que f(t) es continua en t = 4

Observación: En los límites, cuando se menciona a epsilon positivo, en realidad solo nos interesa el entorno de f(4) que sea lo suficientemente pequeño, dicho entorno tiene radio igual a epsilon, es decir que epsilon debe ser lo más pequeño posible y no nulo. Esto es continuidad puntual.