Solución de ecuaciones diferenciales con transformada de laplace y^´´-4y=sen (t) ;y(0)=1,y^'(0)= -1
como podria encontrar la Solución de la ecuacion diferencial con transformada de laplace y^´´-4y=sen (t) ;y(0)=1,y^'(0)= -1me podria decir el paso a paso
la Solución de la ecuacion diferencial con transformada de laplace y^´´-4y=sen (t) ;y(0)=1,y^'(0)= -1
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Respuesta de Alejandro Salazar
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$$\begin{align}&y''-4y=\sin t\\&y(0)=1\\&y'(0)=-1\\&\text{Hacer las transformadas}\\&s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)-4Y(s)=\frac{1}{s^2+1}\\&\text{Sustituir los valores dados y despejar Y(s)}\\&(s^2-4)Y(s)-s+1=\frac{1}{s^2+1}\\&Y(s)=\frac{1}{(s^2+1)(s^2-4)}+\frac{s}{s^2+4}-\frac{1}{s^2+4}\\&\\&\text{Hay que hacer fracciones parciales para la primera}\\&\text{No lo voy a poner aqui porque me tardaria la vida, pondré el resultado}\\&Y(s)=\frac{-1}{5(s^2+1)}-\frac{1}{20(s+2)}+\frac{1}{20(s-2)}+\frac{s}{s^2+4}-\frac{1}{s^2+4}\\&\text{Transformada inversa}\\&y=\frac{-1}{5}\sin t -\frac{1}{20} e^{-2t}+\frac{1}{20}e^{2t}+ \cos 2t-\frac{1}{2}\sin 2t\end{align}$$Me tomé mi tiempo, en un principio no tendria ningun error
¡Gracias!
Hah que fallo, en las ultimas dos fracciones puse s^2+4 en vez de s^2-4
$$\begin{align}&\frac{s}{s^2-4}-\frac{1}{s^2-4}\\&\frac{1}{2(s+2)}+\frac{1}{2(s-2)}+\frac{1}{4(s-2)}-\frac{1}{4(s+2)}\\&\\&\text{Transformada inversa}\\&\\&\frac{1}{2}e^{-2t}+\frac{1}{2}e^{2t}+\frac{1}{4}e^{2t}-\frac{1}{4}e^{-2t}\\&\\&\frac{3}{4}e^{-2t}+\frac{1}{4}e^{2t}\end{align}$$Entonces el cos2t y sen 2t no van,
La solucion de la ec diferencial es
$$\begin{align}&y=\frac{-1}{5}\sin t - \frac{1}{20}e^{-2t}+\frac{1}{20}e^{2t}+ \frac{3}{4}e^{-2t}+\frac{1}{4}e^{2t}\\&y=\frac{-1}{5}\sin t+\frac{7}{10}e^{-2t}+\frac{4}{5}e^{2t}\end{align}$$Mis sinceras disculpas
