Como puedo resolver la siguiente ecuación

Se me ocurren dos formas, una es transformándolo en una ecuación exacta, otra transformándola a una ecuación homogénea, ¿conoces alguno de los dos métodos?

de hecho apenas estoy iniciando la materia de ecuaciones diferenciales y ni idea de como resolverlas, puedes ayudarme. 

$$\begin{align}&\text{Bueno no la podemos hacer exacta como mencioné arriba}\\&\\&2t+3x+(x+2)x'=0\\&x'=\frac{-2t-3x}{x+2}\\&\\&\text{Lo que tenemos que hacer es ver si la funcion de arriba y la de abajo}\\&\text{son ecuaciones homogeneas de igual grado, puedes comprobar}\\&\text{que no lo son, pero la podemos transformar en una que si lo es}\\&\text{haciendo unos cambios de variable}\\&x'=\frac{-2t-3x}{x+2}\\&\text{Primero,si tenemos una ec que nos queda de esta forma}\\&y'=\frac{ax+by+c}{dx+ey+f}\\&\text{o en nuestro caso}\\&x'=\frac{at+bx+c}{dt+ex+f}\\&\text{a,b,c,d,e,f son los numeros que acompanan a la variable}\\&\text{Vamos a hacer esto } ae-bd\\&\text{Si el resultado es igual a cero hacemos el cambio } w=ax+by, \ (w=at+bx)\\&\text{en nuestro caso}\\&\text{en caso contrario, hay que hacer dos cambios }u=x+\alpha, v=y+\beta\\&\text{y hallar los valores de alfa y \beta con un sistema de ecuaciones} \\&\\&x'=\frac{-2t-3x}{x+2}\\&\frac{dx}{dt}=\frac{-2t-3x}{x+2}\\&\text{En nuestro caso no es cero}\\&x=u-\alpha\\&du=dx\\&t=v-\beta\\&dv=dt\\&\\&\text{El sistema de ecuaciones es}\\&-2t-3x=0\\&x+2=0\\&x=-2===\alpha\\&t=3===\beta\\&x=u-2\\&t=v+3\\&\\&\text{Hacemos el cambio de variable}\\&\frac{dx}{dt}=\frac{-2t-3x}{x+2}\\&\frac{du}{dv}=\frac{-2v-6-3u+6}{u-2+2}=\frac{-2v-3u}{u}\\&\text{Ahora que es homogenea podemos hacer el cambio de variable }\\& u=wv\\&\frac{du}{dv}=\frac{dw}{dv}v+w\\&\frac{dw}{dv}v+w=\frac{-2v-3wv}{wv}\\&\frac{dw}{dv}v+w=\frac{-2-3w}{w}\\&\frac{dw}{dv}v=\frac{-w^2-3w-2}{w}\\&-\int \frac{w}{w^2+3w+2}dw= \int \frac{1}{v}dv\\&-2 \ln (w+2)+\ln(w+1)=\ln v +C\\&\ln \frac{w+1}{(w+2)^2}=\ln v +C\\&\frac{w+1}{(w+2)^2}=v+k \ \ \ \because e^C=k\\&\\&\text{Deshacemos el cambio de variable}\\&\frac{\frac{u}{v}+1}{(\frac{u}{v}+2)^2}=v+k \\&\\&\text{Y ahora el otro}\\&\\&\frac{\frac{x+2}{t-3}+1}{(\frac{x+2}{t-3}+2)^2}=t-3+k \\&\text{De ahi, puedes simplificar si quieres}\\&\end{align}$$

Es bueno que me digas los métodos que conoces para poder evitarme explicar más de la cuenta( no tengo ningún problema con ello, pero si me lo puedo saltar mejor)

Disculpa la tardanza, por alguna razón (no se si hubo problema con la página) no podía mandar la respuesta

¡Gracias! Por tu apoyo realmente es mi inicio en este tipo de temas, e iniciado mis estudios y pues francamente son de mucha comprensión

Agradezco tu apoyo saludos, gracias

El primer cambio de variable es

x=u+alfa

t=v+beta 

Puse un menos en vez de un más por error. Pero al resolver el sistema de ecuaciones lo hice bien y tomé con más en vez de menos. Fijate que puse alfa=-2 y al sustituir en la formula con el menos quedaria x=u+2, pero no, como es con mas, queda x=u-2 (lo mismo con t). No se si me expliqué bien

¡Gracias! Ya lo corrige. Gracias por hacerme la corrección, se me dificulta hacer la comprensión pero tendré que esforzame. Eres maestro o algo así, te admiro por ayudar.

En el final del ejercicio dices simplificar es decir debo realizar operaciones o como 

Puedes hacer algunas simplificaciones, pero es lo de menos, para este tipo de ec diferenciales lo normal es que no importe el hacer un despeje, sino resolverla (al menos que el profesor diga que sea estrictamente necesario).

No soy profesor, soy estudiante de universidad de ingeniería. Si me gustaría en un futuro ser profesor

¡Gracias! Por tu apoyo. Y se que lograras ser un gran dioso profesor y sobre todo estas preparándote para tener las bases, éxito asegurado.

¿Tu también estás en la universidad? ¿Qué estás estudiando? Si no te importa claro, yo estoy estudiando ing mecánica

Si claro estoy iniciando la carrera de lic. en matemáticas. Estudio en línea. Hace más de 15 años deje de estudiar pero hoy retomo mis estudios. Pero francamente no entiendo esta materia de calculo de variables