Calcula el área del triangulo si sus vértices son

Vamos a escribir con esos tres puntos 2 vectores (cualesquieras, es indiferente) que van a representar los lados del triangulo

A-B=(-1,-2,2)

B-C=(2,-4,1)

Ahora, que hace el producto vectorial (a parte de devolver un vector perpendicular a otros dos), si tu calculas el modulo del vector resultante, obtienes el área del paralelogramo formado por los dos vectores. Piensa en la suma de vectores que enseñan que tienes dos vectores, y bueno haces unas proyecciones y obtienes un paralelogramo. Bueno el modulo del producto vectorial te devuelve el área de ese paralelogramo. Pero nosotros queremos el área del triangulo, y el área del triangulo es la mitad del área del paralelogramo que es lo que buscamos

Ahora puedes hacer el determinante, yo no lo voy a poner porque en esta página las matrices no funcionan bien.

(A-B)x(B-C)=(6,5,8)

$$\begin{align}&|(A-B)x(B-C)|=\sqrt{6^2+5^2+8^2}=\sqrt{125}=5 \sqrt{5}\\&Area_{traingulo}=\frac{1}{2}5 \sqrt{5}\end{align}$$

me puedes indicar como se obtienene eso del determinante