Sea A una matriz invertible de orden nxn tal que A^-1=2^T demuestre que dea(A^2)= 1/2^n
Por favor me ayudan a resolver este ejercicio, sea A una matriz invertible de orden nxn tal que A^-1=2^T demuestre que dea(A^2)= 1/2^n
Respuesta de Alejandro Salazar
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Debemos recordar que el determinante de la matriz traspuesta es igual al determinante de la matriz original
$$\begin{align}&A^{-1}=2A^T\\&\det(A^{-1})=\det(2 A^T)\\&\frac{1}{\det(A)}=2^n\det(A^T)\\&\text{Una de las propiedades del determinante es que }\\&\text{Si sacas un factor de una fila o columna te queda}\\&\text{el determinante multiplicado por ese factor.Si sacamos}\\&\text{factor comun 2 para cada una de las filas(hay n filas)}\\&\text{obtenemos 2^n det(A^T)}\\&\frac{1}{\det(A)}=2^n\det(A)\\&\frac{1}{2^n}=\det(A)\det(A)\\&\det(A^2)=\frac{1}{2^n}\\&\\&\end{align}$$
