Como resuelvo este problema ( Identidades trigonométricas)

Suma y diferencia de ángulos de seno y coseno, el profesor pide hallar una fórmula que nos permita relacionar un angulo que se obtiene como la suma o diferencia de dos ángulos conocidos(a grandes rasgos, sin entrar en mucho detalle), hay una visualización más geométrica (usando dos triángulos rectángulos uno de angulo alpha y otro de angulo beta)pero la geometría no es mi mejor área, pero se puede demostrar usando números complejos

Debemos saber que un numero complejo lo podemos escribir de la forma

$$\begin{align}&z=re^{ix}=r(\cos x +i \sin x)\end{align}$$

Donde r es el modulo del numero complejo y x es el angulo que existe entre el eje real, asumamos r=1, usando lo de arriba obtenemos

$$\begin{align}&e^{i(\alpha + \beta) }=\cos (\alpha + \beta) + i \sin (\alpha + \beta)\end{align}$$

Pero esta no es la única manera, de hecho lo que vamos a hacer es operar el lado izquierdo de manera distinta.

$$\begin{align}&\text{Recordar que  } i^2=-1\\&e^{i(\alpha + \beta)}=e^{i \alpha}e^{i \beta}=(\cos \alpha + i \sin \alpha )(\cos \beta + i \sin \beta )=\\&\cos \alpha \cos \beta +i \cos \alpha \sin \beta + i \sin \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta=\\&(\cos \alpha \cos \beta- \sin \alpha \sin \beta )+ i(\cos \alpha \sin \beta+\sin \alpha \cos \beta)\\&\\&\text{Es decir, usando el resultado de ahorita y el de arriba}\\&e^{i(\alpha + \beta)}=\cos ( \alpha + \beta)+ i \sin (\alpha +\beta)=(\cos \alpha \cos \beta- \sin \alpha \sin \beta )+ i(\cos \alpha \sin \beta+\sin \alpha \cos \beta)\\&\\&\text{Para que dos numeros complejos sean iguales  la parte real deben ser iguales}\\&\text{Lo mismo con sus partes imaginarias, entonces}\\&\\&\cos ( \alpha + \beta)=\cos \alpha \cos \beta- \sin \alpha \sin \beta\\&\sin (\alpha +\beta)=\cos \alpha \sin \beta+\sin \alpha \cos \beta\\&\\&\text{Ahora para la diferencia de angulos, sustituimos el mas por menos}\\&\text{Recordar que \cos es una funcion par entonces }\cos (-x)=\cos x\\&\text{y el seno es una funcion impar entonces } \sin (-x)=- \sin x\\&\\&\cos ( \alpha - \beta)=\cos \alpha \cos (-\beta)- \sin \alpha \sin (-\beta)\\&\cos ( \alpha - \beta)=\cos \alpha \cos (\beta)+ \sin \alpha \sin (\beta)\\&\\&\\&\sin (\alpha -\beta)=\cos \alpha \sin (-\beta)+\sin \alpha \cos (-\beta)\\&\sin (\alpha -\beta)=-\cos \alpha \sin (\beta)+\sin \alpha \cos (\beta)\\&\\&\\&\text{Ahi tienes las otras dos formulas}\end{align}$$