Encontrar ecuación de la recta
Encuentra la ecuación de la circunferencia con centro C=(1.1) para la cual la recta Y=-X es una tangente
No es necesario graficarla . Sólo tengo que hacer el desarrollo del ejercicio
Centro: (1; 1)
Recta tangente: y= -x; el valor de su pendiente o primera derivada: y' = -1.
Circunferencia: (x-xo)^2 + (y-yo)^2 = r^2;
Para obtener la tangente en cualquier punto de la circunferencia hago su primera derivada (me conviene derivar implícitamente):
2(x-xo) + 2(y-yo)y' = 0; tener en cuenta que r^2 es una constante y su derivada vale 0.
(x-xo) + (y-yo)y' = 0; reemplazo con los valores conocidos:
(x-1) + (-x-1)(-1) = 0;
(x-1) + (x+1) = 0; 2x=0; x=0;
Reemplazo en la fórmula de la circunferencia:
(0-1)^2 + (0-1)^2 = r^2; 2=r^2;
r= |√2|;
Finalmente: (x-1)^2 + (y-1)^2 = 2
Puedes ver la gráfica de tu circunferencia en:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+%28x-1%29%5E2+%2B+%28y-1%29%5E2+%3D+2
La recta tangente bisecta al 2° y 4° cuadrantes y hace tangencia a la circunferencia en (0; 0).
Es correcta la respuesta de Gustavo (votada).
1 respuesta más de otro experto
Te dejo una posibilidad (calculo que existen otras)
Sabemos que la circunferencia tiene centro en (1,1), así que la expresión tendrá la forma
(x-1)^2 + (y-1)^2 = r^2
Además sabemos que
Y = -x es tangente, así que dicho punto pertenecerá a ambas expresiones
Usando este dato en la primer ecuación, tenemos
(x-1)^2 + (-x-1)^2 = r^2
Desarrollando
2 (x^2 + 1) = r^2
x = Raiz(r^2/2 - 1)
Como queremos que sea tangente, entonces esa raíz tiene que dar un único valor, la única forma que la raíz de un único valor es que la expresión que está dentro de la raíz sea 0, o sea
r^2/2 - 1 = 0
r^2 = 2
y ya tenemos todo lo que necesitamos. La expresión de la circunferencia es:
(x-1)^2 + (y-1)^2 = 2
Salu2