¿Cómo puedo hallar la derivada de las siguientes funciones?

1) Puede expresarse como:  (-5/2) x^(-2); 

por derivación directa:  (-5/2) * (-2)*x^(-3);  o:  5 / (x^3). 

Pero como lo solicitan por incrementos:

 f ' (x) = lím (h->0) [(-5/2)*(x+h)^(-2) - (-5/2)*x^(-2)] / h;

 f ' (x) = lím (h->0) {[(-5/2)/(x+h)^2] - [(-5/2)/x^2]}/h;

 f ' (x) = lím (h->0) (-5/2) * {[1/(x+h)^2] - [1/x^2]}/h;

 f ' (x) = lím (h->0) (-5/2) * {[x^2 - (x+h)^2] / (x+h^2)(x^2)}/h

 f ' (x) = lím (h->0) (-5/2) * {[x^2 - (x^2+2hx+h^2)] / (x+h^2)(x^2)}/h;

 f ' (x) = lím (h->0) (-5/2) * {[(-2hx-h^2)] / (x+h^2)(x^2)}/h;

 f ' (x) = lím (h->0) (-5/2) * {[(-2x-h)] / (x+h^2)(x^2)}; tomo límite h->0:

5 / x^3;  tal cual el otro método.

2) Podemos expresarlo como:  (3x +1)^(1/2);  por derivación en cadena:

(1/2) * (3x+1)^(-1/2) * 3;  o:  (3/2)*(3x+1)^(-1/2);  o:  3/2√(3x-1).

Hagámoslo ahora por incrementos:

f ' (x) = lím (h->0) {[3(x+h) + 1]^(1/2) - (3x +1)^(1/2)} / h;  multiplico y divido por el conjugado:

f ' (x) = lím (h->0) {[3(x+h) + 1] - (3x +1)} / h*{[3(x+h) + 1]^(1/2) + (3x +1)^(1/2)} ;

f ' (x) = lím (h->0) [3h + 1 - 1)] / h*{[3(x+h) + 1]^(1/2) + (3x +1)^(1/2)} ;

f ' (x) = lím (h->0) 3 / {[3(x+h) + 1]^(1/2) + (3x +1)^(1/2)} ;  tomo límite con h->0:

f ' (x) = 3 / {2*[(3x +1)^(1/2)]};  o:  (3/2) * (3x +1)^(-1/2);  igual al otro método.

Seguiré con el resto.

f(x) = 4x^3 -2x +1;  debemos hallar la ecuación de la recta tangente "para cualquier punto de la curva".

Ecuación de la recta: y(r)=mx(r) + b. He colocado y(r) y x(r) para referirme a los valores de x y y de la recta (no de la curva inicial, que seguiremos llamando f(x) y x.

La pendiente m corresponde a la derivada en el punto que se desee la recta tangente; en este caso: f ' (x) = 8x^2 -2; que evaluaremos para cada punto que necesitemos.

Despejemos b en función de x, partiendo de la ecuación inicial:

4x^3-2x+1=(8x^2-2)*x + b;  opero y paso términos dejando solo a b:

-4x^3 + 1 = b;  

Resultado final, reemplazando en la ecuación de la recta:

y(r) = (8x ^2-2)*x(r) + (1-4x^3).

Tener en cuenta que x es el punto de tangencia de la curva y la recta.

Ejemplo:  Hallar la recta tangente a x= 1/2;  y cuando x= (-1/2). Observar que estos son máximos y mínimos, con lo que la pendiente será una horizontal.

y(r)(1/2) = 0*x(r) + (1/2).  Correctamente, la tangente es una horizontal en que y(r) vale (1/2) para cualquier valor de x.

y(r) (-1/2) = 0*x(4) + (3/2);  es una horizontal donde y(r) vale (3/2) para cualquier x.