Calcular el volumen por medio de capas o arandelas
Método de capas o arandelas calculo de volumen quisiera que me ayudaran por favor esto
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El primer ejercicio podemos escribirlo en función de x:
y=√ (x+2); definida para x>= (-2);
y= √ (6-x); definida para x <=6.
El cruce de ambas funciones, igualándolas: x=2.
Al girar alrededor del eje de abscisas quedan definidos los límites:
y=√(x+2); entre ( -2 y 2);
y=√(6-x); entre ( 2 y 6).
Usemos el método de arandelas (o fetas o cilindros, en este caso).
Razonemos el "cilindro diferencial":
El Volumen (V) de un cilindro: V= π*r^2*h; para nuestro caso: r=f(x) o y; h=dx. Reemplazo:
dV = π*y^2*dx; quedando una ED de variables separadas (a y lo reemplazaremos por su valor en función de x).
Para hallara el Volumen del sólido (V), sólo debo integrar entre los límites dados:
V = π * [ ∫ (de (-2) a 2) (x+2) + ∫ (de 2 a 6) (6-x) ] * dx;
V = π * { (de (-2) a 2) [(1/2)x^2 +2x] + (de 2 a 6) [6x-(1/2)x^2] };
V= π * { [ 6 - (-2)] + [ 18 - 10] }
V = 16π u^3
La segunda consigna, interpreto que es 0 (cero), porque el cruce de ambas regiones se da en (2; 2), no generándose volumen alrededor de y=2. Otra opción es que se haga girar alrededor de y=2 a ambas curvas (de -2 a 2 y de 2 a 6 respectivamente). Si fuera esta última forma.
Para la tercera consigna, usemos el método de casquetes, casquillos o bujes.
Supongamos que el sólido está compuesto por infinitos bujes concéntricos, con eje en el eje y.
Volumen del cilindro= πr^2h; pero como cada cilindro será hueco en el centro, hay que restarle al exterior la medida interior. En definitiva: V(buje) = π R^2h - π r^2h; factorizando:
V(buje) = π*h*(R^2-r^2); o: V(buje) = π*h*(R+r)*(R-r);
Vemos que (R-r) = dx; h=y; nos queda (R+r).
Si hacemos un promedio entre R y r: Prom=(R+r)/2; o: R+r = 2 Promedio;
Pero como este promedio es igual a x, queda finalmente el volumen diferencial del cilindro:
dV=2π*x*y*dx.
Para hallar V sólo falta integrar entre los límites solicitados (en este caso entre x=0 a x=1).
V = 2π*∫ (de 0 a 1) x*(3x-x^3)*dx;
V = 2π*∫ (de 0 a 1) (3x^2-x^4)*dx;
V = 2π* [ x^3 - (1/5)x^5]; de 0 a 1:
V = 2π* (1-1/5) - 0;
V = (8/5)π u^3
