Anónimo
Calcular de dos formas un limite
Para la primera opción he utilizado la regla de L'Hospital y el resultado me ha dado Limite=-1.
Para la segunda opción he utilizado los infinitesimos y me da como resultado Limite=-infinito. Alguien podría ayudarme.
Respuesta de Karl Mat
Otro método es similar la L'Hospital, la idea es escribir cada parte de la fracción como una descomposición polinómica de Taylor
$$\begin{align}&f(x) \sim \sum_{n=0}^{h}\dfrac{f^{[n]}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\end{align}$$En este caso
$$\begin{align}&x(e^x+1)-2(e^x-1)\sim \dfrac{x^3}{3!}~,~ x\to0\\&\\&\sin x-x \sim - \dfrac{x^3}{3!}~,~ x\to0\end{align}$$Por ende
$$\begin{align}&\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x(e^x+1)-2(e^x-1)}{\sin x-x}=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x^3/3!}{-x^3/3!}=-1\end{align}$$