Hallar polinomio de tercer grado
Hallar el polinomio de 3er grado p(x) que pasa por el origen y verifica: p(1) = p(-1) = 0; p(-4) = -60.
2 Respuestas
ax^3 + bx^2 + cx + d; polinomio de 3° grado.
Si pasa por el origen (0; 0), nos indica que d=0, por lo que podemos resumir:
ax^3 + bx^2 + cx =
1) Para x=1: a + b + c= 0;
2) Para x=(-1): (-a) + b - c = 0;
3) Para x=(-4): (-64a) + 16b - 4c = (-60); tres ecuaciones, tres incógnitas.
Sumo mam 1) y 2): 2b=0; b=0;
3) queda como: (-64a) - 4c = (-60); simplifico por (-4):
16a +c = 15
De 1): a+0+c=0; c=(-a); reemplazo:
16a -a = 15;
a=1.
c=(-1).
Finalmente: x^3 -x , que es tu polinomio de 3° grado.
Corroboremos:
(0; 0), pasa por el origen;
(1; 0); (-1; 0);
(-4; 60); son correctos.
El último renglón debería decir: (-4; -60)
Por supuesto que la respuesta de Norberto es correcta, pero lo voy a resolver de otra forma.
Como ya te dieron 2 raíces (donde el polinomio vale 0), vos sabés que a un polinomio lo podés escribir como el producto de (x-raices), por lo tanto, tendríamos que
P(x) = (x-1)(x+1)(x-a)
Ya que 2 raíces ya las conocemos, solo queda calcular la tercera (que yo puse como 'a')
Ahora voy a usar la última condición que te dieron que es que para x=-4 el polinomio vale -60, o sea
-60 = (-4-1)(-4+1)(-4-a)
-60 = (-5)(-3)(-4-a)
-4 = -4 - a
a = 0
O sea que el polinomio será
P(x) = (x-1)(x+1)x
Si ahora hacemos la distributiva (fijate que los primeros términos es una diferencia de cuadrados)
P(x) = x^3-x
Verificamos
P(1) = (1)^3 - 1 = 0 Cumple
P(-1) = (-1)^3 - (-1) = 0 Cumple
P(-4) = (-4)^3 - (-4) = -60 Cumple
Conclusión, te dejo otra forma que al aprovechar el hecho de tener 2 raíces, me parece más sencilla (fijate que no usé el hecho que pasa por el origen, sino directamente teníamos la tercer raíz y lo que yo hice de calcular 'a' no era necesario ya que nos daban las 3 raíces)
Salu2