Como se resuelven estos ejercicios
1. Hallar los puntos de interseccion de las siguientes funciones.
(a) f(x) = sen(x) y g(x) = − 1/2
(b) f(x) = e^x − e^−x y g(x) = 4
(c) f(x) = log3(x) + log3(x − 2) y g(x) = 1,
2.Resolver las siguientes inecuaciones:
(a) e^x − 2 < 0,
(b) e^(5x^ 2−1) + 4|sen(x)| > 0,
(c) ln (x − 1) > 1,
(d) x ln (x − 1) < 0.
1 Respuesta
Te dejo los 2 primeros:
1a) f(x) = sen(x) y g(x) = − 1/2
Para que halla intersección, debe pasar que
sen(x) = -1/2
Si conoces el seno de los ángulos notables, sabrás que sen(30°) = 1/2, como en este caso es -1/2, entonces en realidad se trata del ángulo de -30° (o 330°). (Y cualquier valor que difiera en vueltas completas).
Igualmente para que tenga sentido, hay que expresar el ángulo en radianes, para eso hacemos una regla de 3
180° --------PI
330° ----------X = 11/6 PI
Por lo tanto la solución es x= 11/6PI + 2k PI .....(con k perteneciente a Z)
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(b) f(x) = e^x − e^−x y g(x) = 4
$$\begin{align}&f(x) = e^x − e^{−x}; g(x) = 4\\&f(x)=g(x)\\&e^x − e^{−x} = 4\\&e^x −\frac{1}{e^{x}} = 4\\&\frac{(e^x)^2-1}{e^{x}} = 4\\&(e^x)^2-1 = 4 e^x\\&Si\ llamamos \ u=e^x, \text{ lo anterior queda}\\&u^2-1=4u\\&u^2-4u-1=0\\&\text{Usando la resolvente}\\&u_{1,2}=2 \pm \sqrt{5}\\&\text{Ahora desarmamos la sustitución:}\\&Caso\ 1\ (u_1):\\&2+\sqrt{5}=e^x\\&ln(2+\sqrt{5})=x\\&x \approx1.44\\&Caso\ 2\ (u_2):\\&2-\sqrt{5}=e^x\\&ln(2-\sqrt{5})=x\\&\text{Pero }2-\sqrt{5}<0 \to \text{x, No tiene solución por esta alternativa}\\&\end{align}$$Salu2