¿Cómo debo resolver éste ejercicio de problemas de optimización? (cálculo)
Una huerta tiene actualmente 25 árboles, que producen 600 frutos cada uno. Se calcula que, por cada árbol adicional plantado, la producción de cada árbol disminuye en 15 frutos.
Calcular:
a) La producción actual de la huerta.
b) La producción que se obtendría de cada árbol si se plantan x árboles más.
c) La producción a la que ascendería el total de la huerta si se plantan x árboles más.
d) ¿Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener la huerta para qué la producción sea máxima?
1 Respuesta
a) Producción actual: 25 árboles * 600 frutos/árbol = 15000 frutos.
b) Producción de cada árbol a consecuencia de plantar x más:
600 - x*15; o: (-15)x + 600;
c) Al plantar x árboles más tendríamos un total de (x+25) árboles.
Si la producción / árbol dijimos en b) que es: (600 - 15x), sólo multiplicamos por el total de árboles:
Producción total de la huerta = (x+25) * (600-15x); o:
PT= (-15)x^2 +600x - 375x + 15000;
PT= (-15)x^2 + 225x + 15000; correctamente una parábola invertida (al tener el coeficiente cuadrático negativo es cóncava hacia abajo, es decir, con un máximo en el vértice).
d) La producción máxima estará en el vértice, que podemos calcular con o sin derivadas:
1) Sin derivadas: x(v) = -(b/2a); x(v) = (-225) / (-2*15);
x(v) = 7,5; pero como los árboles no pueden plantarse por mitades, veamos qué valores obtenemos con x=7 y x=8: en ambos casos da 15840 frutos.
Para 7.5 hubiera dado: 15843.75 frutos (tampoco frutos con decimales...).
2) Con derivadas: PT ' = (-30)x + 225; igualo a 0:
30x = 225; x = 225/30; iguales resultados.
