Dada la elipse x²+6xy+25y²= 16 obtener las ecuaciones de las rectas tangentes paralelas a la recta x+3y -4 = 0

x^2 + 6xy+25y^2 = 16;  derivo implícitamente.

2x + 6 (y+xy ') + 50yy ' = 0;  despejo y ' :

2x + 6y + y '  (6x + 50y) = 0; 

y ' =  -(2x+6y) / (6x + 50y);  o:  y ' =   - [(x+3y) / (3x + 25y)]

Despejo y de la recta:  y = (4-x) / 3;

Directamente obtengo su pendiente:  (-1/3) o derivo implícitamente a la recta:  1 + 3y' =0;  y ' = (-1/3)

Igualo las derivadas de la recta y la elipse:  (-1/3) =   - [(x+3y) / (3x + 25y)];

3x+25y = 3x+9y;   16y=0; 

y=0;  reemplazo en la elipse:  x^2 + 0 + 0 = 16;  x= +-4.

Corroboro las pendientes (derivadas) en la elipse en los puntos (4; 0) y (-4;0):

y ' =   - [(x+3y) / (3x + 25y)];

Para (4; 0):  y ' = - [(4+0) / (12+0)];  y ' = (-1/3);  es correcto;

Para (-4; 0):  y ' = - [(4+0) / ( -12+0)];  y ' = (-1/3);  es correcto.

Hagamos finalmente las ecuaciones de las rectas con pendiente (-1/3) que pasan por (4; 0) y (-4; 0):

0 = (-4/3) + b;  b= (4/3).  ----> y = (-1/3)x + (4/3);

0 = (4/3) + b;  b= (-4/3).  -----> y = (-1/3)x - (4/3).