Para que valor de k se cumple (grado de series de Taylor)

Recordemos que la serie de taylor del coseno es

$$\begin{align}&f(x) = \sum_{n= 0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}\end{align}$$

Por lo que el polinomio de grado n seria de la forma

$$\begin{align}&P_n(x) = \sum_{k = 0}^n \frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!} + R_{n+1}(x)\\&\text{Donde $ R_{n+1} =  \frac{f^{(n+1)}(z)x^{n+1}}{(n+1)!} $ y queremos}\\&|R_{n+1}| \leq 0.01\\&\text{evaluando las derivadas del coseno  vemos que  la expresion resultante para Rn es de la forma}\\&|R_{n+1}| =\left|\frac{\cos(z)}{(2n+1)!}(0.2)^{2n+1} \right| \leq 0.01\\&\text {Sabemos que el $\cos(z)$ esta acotado entre -1 y 1, podemos "olvidarnos" de el}\\&\frac{(0.2)^{2n+2}}{(2n+2)!}  \leq 0.01\\&\text{Pues sabemos que 0.2 elevado a cualquier potencia sera menor a 0.2}\\&\frac{0.2}{(2n+2)!}  \leq 0.01\\&(2n+2)! \geq 20\\&\text{No es dificil hacerlo a mano y ver que  con n =1 es suficiente} \end{align}$$