Ejercicio de Hallar el área de la superficie dada por a) y b) en cilindro
Hallar el área de la superficie dada por a) la parte de la superficie 𝑧=𝑥𝑦 que está dentro del cilindro 𝑥^2+𝑦^2=1 b) La parte del paraboloide hiperbólico 𝑧=𝑥^2−𝑦^2 que está dentro de los cilindros 𝑥^2+𝑦^2=1; 𝑥^2+𝑦^2=4
Pues para calcular el área hay que hacer la integral
$$\begin{align}&\int_S 1 dS\end{align}$$En coordenadas cartesianas la parametrizacion de la curva es bastante sencilla, el contorno lo da un cilindro, uno podria pensar usar una parametrizacion con coordenadas polares, quizas es un poco menos intuitivo pero te saltas unos pasos y es quizas mas rapido (en la pregunta b el uso de coordenadas polares pues es BASTANTE mejor para parametrizar ). Pero como en cartesianas hay una formula "conocida" vamos a usar esa. Y es que la integral de arriba es
$$\begin{align}&A = \int_A \sqrt{f_x^2+f_y^2+1} dx \, dy\end{align}$$f es pues la fucion en cuestion definida por la superficie z = f(x,y) y A pues el contorno
$$\begin{align}&f(x,y)= xy\\&f_x = y \\&f_y = x\\&\\&A = \int_A \sqrt{x^2+y^2+1} dx \, dy\\&\text{El uso de coordenadas polares es evidente}\\&A = \int _0^1 \int_0^{2 \pi} \sqrt{r^2+1} \cdot r \, d\theta \, dr = \\&2 \pi \int _0^1 \sqrt{r^2+1} \cdot r \,dr\\&\text{ haces el cambio }\\&u = r^2+1\\&\text{y resuelves}\\&A = \frac{2 \pi}{3} (\sqrt{8} - 1)\end{align}$$Para la b la idea es la misma, calculas las derivadas y para hallar los limites de integracion pues como lo has escrito puede llevar a confusion pero seguramente se refiere al area que se encuentra en la region entre cilindros. En ese caso cuando utilices coordenadas polares, theta va de 0 a 2pi pero r va de 1 a 2
¡Gracias! 😉✨
Por cierto, para la vi que era un paraboloide, en vez de un menos había visto un más, ya la parametrización a polares (cilíndricas) no vale la pena
