Consulto nuevamente con lo expertos sobre la razón entre el área de un triangulo y el área de un cuadrado.

No sé si será la forma más eficiente, pero veamos que podemos hacer...

$$\begin{align}&\text{Veamos que las áreas de los siguientes triángulos son iguales}\\&\Delta DMC = \Delta MAC\\&Además\\&\Delta MNA\ \text{es rectangulo e isósceles, ya que }MN=NA\\&Area\ de \Delta ANM = \frac{\overline{MN}^2}2\\&\text{Pero por Pitágoras, }\\&\overline{MA}^2=2 \overline{MN}^2\\&Reemplazo\\&Area\ \Delta ANM=\frac{\overline{MA}^2}4\\&\text{Creo que ya tenemos todo lo que necesitamos, ya que el área sombreada es igual al área del cuadrado}\\&\text{menos los triángulos ABC, CDM y MAN, escrito en términos matemáticos:}\\&Area \ de \\&MNC = ABCD - ABC - CDM - MAN\\&\text{Para simplificar, voy a llamar al lado del cuadrado L, tenemos}\\&MNC = L^2 - \frac{L^2}2 - \frac{L^2}4 - \frac{L^2}{16}=L^2(1-\frac{1}2 - \frac{1}4 - \frac{1}{16})=\frac{3}{16}L^2\\&\text{Si ahora queremos ver la relación que hay entre la región sombreada y el cuadrado, simplemente las dividimos:}\\&\frac{MNC}{ABCD}=\frac{\frac{3}{16}L^2}{L^2}=\frac{3}{16}\end{align}$$

Salu2