Desarrollar ejercicio Ecuaciones diferenciales homogéneas

Sea

$$\begin{align}&\bigg(y-\frac{y^2}x \bigg)dx = x dy\\&\bigg(y-\frac{y^2}x \bigg)dx - x dy=0\\&M(x,y)=y-\frac{y^2}x\\&N(x,y)=-x\\&M(tx,ty)=ty-\frac{(ty)^2}{tx}=ty-\frac{ty^2}{x}=t(y-\frac{y^2}{x})=tM(x,y)\\&N(tx,ty)=-tx = tN(x,y)\\&\text{Ambas son homogéneas de grado 1, podemos seguir \sin problemas}\\&Sea\\&f(x,y)=-\frac{M(x,y)}{N(x,y)} \frac{dy}{dx}=f(x,y)\\&\text{Hacemos la sustitución }x/y=z\\&Entonces\\&f(x,y)=f(1,z)\\&y\ ahora\\&z + x \frac{dz}{dx}=f(1,z) \text{es de variables separadas}\\&f(x,y)= \frac{y-\frac{y^2}{x}}{x}\\&f(1,z)=\frac{z-\frac{z^2}{1}}{1}=z-z^2\\&Retomando\\&z + x \frac{dz}{dx}=z-z^2\\&x \frac{dz}{dx}=-z^2\\&\frac{dz}{z^2}=-\frac{dx}x\\&\int \frac{dz}{z^2}=\int -\frac{dx}x\\&-z^{-1}+C_1=-ln(x)+C_2\\&\frac{1}{z}=ln(x)+C\\&Multiplico\ por\ x\\&\frac{x}{z}=x(ln(x)+C)\\&y=xln(x)+C\end{align}$$

Te queda hacer la validación

Profe que más sigue, no entiendo