¿Cual es la diferencia de multiplicar por 1.2 y dividir entre 0.80en cálculos porcentajes?

Si algo está aumentando un 20%, lo correcto es multiplicar por 1.2 y te paso el detalle de por qué pasa esto.

Si tenemos una cierta cantidad X, al cual le queremos aumentar el 20%, entonces la nueva cantidad será:

X + 0.2X

Que sacando factor común

X (1 + 0.2) = 1.2X

Y es por esto que para aumentar un valor, debés multiplicar por 1.2 en lugar de dividir entre 0.8

Por otro lado si tenemos

X / 0.8 = 10 X / 8 = 10/8 X = 1.25X (como ya habías planteado el resultado es otro)

Pero en otro casos veo que lo dividen entre 0.80

Me parece que has visto mal.

Para incrementar en un 20% lo multiplicas por 1.2 pero al dividir entre .80 obtendrás otra cantidad que no es un aumento del 20%.

Por ejemplo.

Si tienes cantidad 50 (cantidad base) y quieres la cantidad aumentada en 20%, entonces

50 * 1.2  =  60

Ahora, supongo que esto es lo que has visto es, si tienes la cantidad aumentada 60 y quieres conocer la base, si fue aumentada en 20%, entonces divides la cantidad "aumentada" entre 1.2 y obtienes la base:

60 / 1.2 = 50