Desarrollar Sustitución Trigonométrica y Fraccionesparciales.
Sustitución Trigonométrica y Fracciones parciales.
Sustitución Trigonométrica y Fracciones parciales.
Recordar, para "por partes": f '(uv) = u'v + v'u; Si integramos ambos lados:
uv= u∫v + v∫u; o: u∫v = uv - v∫u;
Igualemos a nuestra integral a u∫v; con lo que es igual a: uv - v∫u.
Tomamos: ∫ (3x-5)*dx / √(1-x^2); o: ∫ { (3x-5)* [1/ √(1-x^2)] }*dx;
u=arcsin x; du= [1/ √(1-x^2) ]*dx;
v= (3x-5); dv= 3*dx;
∫ (3x-5)*dx / √(1-x^2) = arcsinx * (3x-5) - 3 ∫ arcsinx*dx; esta última ese una integral directa.
∫ (3x-5)*dx / √(1-x^2) = 3x*arcsinx - 5arcsinx - 3 [√(1-x^2) + xarcsinx]+C;
∫ (3x-5)*dx / √(1-x^2) = 3x*arcsinx - 5arcsinx - 3√(1-x^2) - 3xarcsinx + C; simplifico:
∫ (3x-5)*dx / √(1-x^2) = - 5arcsinx - 3√(1-x^2) + C.
o: - [5arcsinx + 3√(1-x^2)] + C.
Puedo corroborar por derivación:
-5/√(1-x^2) - 3* {1/[2√(1-x^2)]}* (-2x); simplifico:
[-5/√(1-x^2) ] + [3x/√(1-x^2)]; finalmente:
(3x - 5) / /√(1-x^2); que es tu primitiva, por lo oque es correcto.
Buen día profe
El tutor me indica que debo dsarrollarlo por el método fracciones parciales
Gracias
Sustitución trigonométrica: Hagamos un triángulo rectángulo con hipotenusa o radio vector=1; un cateto vale x y el otro √(1-x^2) (esto último por Pitágoras).
SenA=o/r; SenA=x/1; SenA=x. A=ArcSenx.
También: dx=CosA*dA; y:
CosA=a/r; CosA=√(1-x^2)/1; CosA=√(1-x^2),
Sustituimos todo en función de A:
∫ [(3SenA - 5) / cosA] * CosA*dA; simplifico:
∫ (3SenA - 5)*dA; integro:
-3CosA - 5A + C; devuelvo variables:
-3√(1-x^2) - 5ArcSenA + C; obviamente igual resultado.
Por Fracciones parciales, tenemos que factorizar al denominador:
(3x-5)/√(1-x^2) = A/√(1-x) + B/√(1+x);
(3x-5)/√(1-x^2) = [A√(1+x) + B√(1-x)] / √(1-x^2); simplifico:
(3x-5)= A√(1+x) + B√(1-x); doy valores:
-5 = A + B; haciendo x=0;
3-5 = A√2 + 0; haciendo x=1; donde A= -√2
Sustituyo en: -5 = A + B; -5 = -√2 + B; B= -5 +√2. Queda:
-√2/√(1-x) + (√2-5)/√(1+x); Integro:
Para el primer término: u=√(1-x); du= [-1/2√(1-x)]*dx; dx=-2u*du; sustituyo:
-(√2 / u ) * -2u*du; = 2√2*du; Integro: 2√2 * u; devuelvo variable:
2√2 *√(1-x)
Para el segundo término: u=√(1+x); du= [1/2√(1+x)]*dx; dx=2u*du; sustituyo:
(-5+√2 / u ) * 2u*du; = 2(-5+√2)*du; Integro: 2(-5+√2) * u; devuelvo variable:
2(-5+√2) *√(1+x). Queda finalmente:
2√2 *√(1-x) + 2(-5+√2) *√(1+x) + C;
o: 2{√2[√(1-x) + √(1+x)] - 5√(1+x)} + C
